Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

La cantidad de hierro en suero de una mujer adulta sigue una distribución normal de media 120 $\mu \text{g/dl}$ y desviación típica 30 $\mu \text{g/dl}$. Se considera que una mujer tiene un tipo de anemia por falta de hierro si su cantidad de hierro no llega a 75 $\mu \text{g/dl}$.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer adulta tenga anemia por falta de hierro? [1 punto]

b) El 45 % de mujeres adultas tienen una cantidad de hierro en suero superior a $k$. Averigüe el valor de $k$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mujer}}\mathbf{\text{adulta}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{anemia}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{falta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hierro?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Llamamos $X$ a la cantidad de hierro en suero, en microgramos por decilitro, de una mujer adulta. Según el enunciado sigue una distribución normal de media 120 y desviación típica 30, y hay anemia por falta de hierro cuando esa cantidad no llega a 75.

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(120;30)$

Tipificamos restando la media y dividiendo por la desviación típica:

$P(X<75)=P(Z<{\displaystyle \frac{75-120}{30}})=P(Z<-\mathrm{1,5})$

La tabla solo recoge valores positivos, así que se aprovecha la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas:

$P(Z<-\mathrm{1,5})=P(Z>\mathrm{1,5})=1-P(Z\le \mathrm{1,5})=1-\mathrm{0,9332}=\mathrm{0,0668}$



La probabilidad de que una mujer adulta tenga anemia por falta de hierro es $\mathrm{0,0668}$, es decir, un $\mathrm{6,68}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{45}}\mathbf{\%}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{mujeres}}\mathbf{\text{adultas}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hierro}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{suero}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{a}}\mathit{k}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Averig}}\ddot{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{k}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora el dato es la probabilidad y la incógnita es el valor de la variable: se recorre la tabla al revés. Se pasa primero la cola derecha a área acumulada por la izquierda, que es lo que la tabla recoge.

$P(X>k)=\mathrm{0,45}\Rightarrow P(X\le k)=1-\mathrm{0,45}=\mathrm{0,55}$

$P(Z\le {\displaystyle \frac{k-120}{30}})=\mathrm{0,55}$

Buscamos en el interior de la tabla el valor $\mathrm{0,55}$. No aparece exactamente: los valores más próximos son $\mathrm{0,5478}$, que corresponde a $z=\mathrm{0,12}$, y $\mathrm{0,5517}$, que corresponde a $z=\mathrm{0,13}$. El segundo se aparta menos, así que se toma

${\displaystyle \frac{k-120}{30}}=\mathrm{0,13}$

$k=120+\mathrm{0,13}\cdot 30=120+\mathrm{3,9}=\mathrm{123,9}$



El valor pedido es $k=\mathrm{123,9}$ microgramos por decilitro. Es coherente que quede algo por encima de la media, ya que el porcentaje que lo supera, el $45\mathrm{\%}$, es algo menor que la mitad.