Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

Un estudiante universitario de matemáticas ha comprobado que el tiempo que le cuesta llegar desde su casa a la universidad sigue una distribución normal de media 30 minutos y desviación típica 5 minutos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde menos de 40 minutos en llegar a la universidad? [0,75 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde entre 20 y 40 minutos? [0,75 puntos]

c) El estudiante, un día al salir de su casa, comprueba que faltan exactamente 40 minutos para que empiece la clase. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue tarde a clase? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tarde}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{40}}\mathbf{\text{minutos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{llegar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{universidad?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $T$ al tiempo, en minutos, que tarda el estudiante en llegar a la universidad. Según el enunciado sigue una distribución normal de media 30 y desviación típica 5.

$T\sim N(\mu ,\sigma )=N(30;5)$

Para poder usar la tabla se tipifica la variable restando la media y dividiendo por la desviación típica.

$P(T<40)=P(Z<{\displaystyle \frac{40-30}{5}})=P(Z<2)=\mathrm{0,9772}$



La probabilidad de que tarde menos de 40 minutos es $\mathrm{0,9772}$, es decir, un $\mathrm{97,72}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tarde}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{40}}\mathbf{\text{minutos?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se tipifican los dos extremos del intervalo. Al estar ambos a la misma distancia de la media, el intervalo tipificado resulta simétrico respecto del origen.

$P(20<T<40)=P({\displaystyle \frac{20-30}{5}}<Z<{\displaystyle \frac{40-30}{5}})=P(-2<Z<2)$

Por la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas, el área central se obtiene como:

$P(-2<Z<2)=2P(Z\le 2)-1=2\cdot \mathrm{0,9772}-1=\mathrm{0,9544}$



La probabilidad de que tarde entre 20 y 40 minutos es $\mathrm{0,9544}$, es decir, un $\mathrm{95,44}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{estudiante,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{salir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{casa,}}\mathbf{\text{comprueba}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{faltan}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{40}}\mathbf{\text{minutos}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{empiece}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{clase.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{llegue}}\mathbf{\text{tarde}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{clase?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llegar tarde significa emplear más de 40 minutos, que es el suceso contrario del apartado a); no hace falta volver a la tabla.

$P(T>40)=1-P(T<40)=1-\mathrm{0,9772}=\mathrm{0,0228}$

La probabilidad de que llegue tarde a clase es $\mathrm{0,0228}$, es decir, apenas un $\mathrm{2,28}\mathrm{\%}$ de los días.