Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2023

En una población determinada la altura de los niños de 17 años sigue una distribución normal de media 175 cm y desviación típica 7,41.

a) Calcule la probabilidad de que en dicha población la altura de un niño de 17 años esté entre 170 cm y 180 cm. [1 punto]

b) ¿A partir de qué altura un niño de 17 años de dicha población se encontraría dentro del 5 % de niños de 17 años más altos de dicha población? [1,5 puntos]

Llamamos $X$ a la altura de un niño de 17 años de esa población, que según el enunciado sigue la ley

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(175;\mathrm{7,41})$

y tipificamos, que es lo que permite usar la tabla de la normal estándar.

$Z={\displaystyle \frac{X-175}{\mathrm{7,41}}}\sim N(0,1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{ni}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{17}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{170}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{180}}\mathbf{\text{cm.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo.

$P(170<X<180)=P({\displaystyle \frac{170-175}{\mathrm{7,41}}}<Z<{\displaystyle \frac{180-175}{\mathrm{7,41}}})=P(-\mathrm{0,67}<Z<\mathrm{0,67})$

Los dos extremos son opuestos, así que el intervalo está centrado en la media y podemos usar la simetría de la campana:

$P(-\mathrm{0,67}<Z<\mathrm{0,67})=2\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,67})-1$

$=2\cdot \mathrm{0,7486}-1=\mathrm{0,4972}$



La probabilidad de que un niño de 17 años mida entre $170$ y $180\text{ cm}$ es $\mathrm{0,4972}$, es decir, un $\mathrm{49,72}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{ni}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{17}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encontrar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ni}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{17}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{altos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora la incógnita es la altura. Llamamos $k$ al valor buscado; que por encima de él quede el $5\mathrm{\%}$ más alto significa

$P(X>k)=\mathrm{0,05}\Rightarrow P(X<k)=\mathrm{0,95}$

Tipificamos y buscamos en la tabla el valor de $z$ que deja a su izquierda esa área.

$P(Z<{\displaystyle \frac{k-175}{\mathrm{7,41}}})=\mathrm{0,95}$

En la tabla, $\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,64})=\mathrm{0,9495}$ y $\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,65})=\mathrm{0,9505}$, de modo que el valor está justo en medio:

${\displaystyle \frac{k-175}{\mathrm{7,41}}}=\mathrm{1,645}$

$k=175+\mathrm{1,645}\cdot \mathrm{7,41}=175+\mathrm{12,1895}=\mathrm{187,1895}$



A partir de $\mathrm{187,19}\text{ cm}$ un niño de 17 años se encuentra dentro del $5\mathrm{\%}$ más alto de la población.