Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

En una determinada población de adultos sanos, la concentración media de colesterol en sangre sigue una distribución normal con media 190 mg/dl y desviación típica 30 mg/dl. Un nivel elevado de colesterol puede indicar posibles problemas de salud.

a) Calcule la probabilidad de que un adulto sano de la población tenga un nivel de colesterol superior a 250 mg/dl. [1,25 puntos]

b) Calcule qué nivel de colesterol solo superan el 1 % de adultos sanos de dicha población. [1,25 puntos]

Llamamos $X$ a la concentración de colesterol en sangre de un adulto sano, que según el enunciado sigue la ley

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(190;30)$

y tipificamos, que es lo que permite usar la tabla de la normal estándar.

$Z={\displaystyle \frac{X-190}{30}}\sim N(0,1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{adulto}}\mathbf{\text{sano}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{colesterol}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{250}}\mathbf{\text{mg/dl.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Tipificamos el valor $250$ y pasamos al suceso contrario, porque la tabla da el área acumulada.

$P(X>250)=P(Z>{\displaystyle \frac{250-190}{30}})=P(Z>2)$

$=1-\mathrm{\Phi }(2)=1-\mathrm{0,9772}=\mathrm{0,0228}$



La probabilidad de que un adulto sano supere los $250\text{ mg/dl}$ es $\mathrm{0,0228}$, es decir, un $\mathrm{2,28}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{colesterol}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{superan}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{adultos}}\mathbf{\text{sanos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $k$ a ese nivel e imponemos que la cola derecha valga $\mathrm{0,01}$.

$P(X>k)=\mathrm{0,01}\Rightarrow P(X<k)=\mathrm{0,99}$

Buscamos en la tabla el valor tipificado que deja a su izquierda esa área:

$P(Z<{\displaystyle \frac{k-190}{30}})=\mathrm{0,99}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(\mathrm{2,33})=\mathrm{0,9901}\Rightarrow {\displaystyle \frac{k-190}{30}}=\mathrm{2,33}$

$k=190+\mathrm{2,33}\cdot 30=190+\mathrm{69,9}=\mathrm{259,9}$



Solo el $1\mathrm{\%}$ de los adultos sanos supera los $\mathrm{259,9}\text{ mg/dl}$ de colesterol.