Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

Un determinado test rápido para anticuerpos de COVID-19 consigue detectar concentraciones iguales o superiores a 10 U, en donde U son unidades de concentración de anticuerpos. De esta forma, concentraciones iguales o superiores a 10 U dan un resultado positivo, mientras que concentraciones inferiores a 10 U dan un resultado negativo en el test. Suponemos que la concentración de anticuerpos sigue una distribución normal con media 20 U y desviación típica 5 U y que todas las personas que han pasado la enfermedad han desarrollado anticuerpos.

a) Calcule la probabilidad de que una persona que ha pasado la enfermedad dé negativo en el test. [1,25 puntos]

b) Calcule qué concentraciones debería detectar el test para que la probabilidad calculada en el apartado anterior fuese del 1 %. [1,25 puntos]

Llamamos $X$ a la concentración de anticuerpos de una persona que ha pasado la enfermedad, que según el enunciado sigue la ley

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(20;5)$

y tipificamos, que es lo que permite usar la tabla de la normal estándar.

$Z={\displaystyle \frac{X-20}{5}}\sim N(0,1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{pasado}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{enfermedad}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{negativo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{test.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El test da negativo cuando la concentración es inferior a $10\text{ U}$, así que tipificamos ese valor.

$P(X<10)=P(Z<{\displaystyle \frac{10-20}{5}})=P(Z<-2)$

Las tablas solo recogen valores positivos, así que llevamos el suceso al semieje positivo por la simetría de la campana:

$P(Z<-2)=P(Z>2)=1-\mathrm{\Phi }(2)=1-\mathrm{0,9772}=\mathrm{0,0228}$



La probabilidad de que una persona que ha pasado la enfermedad dé negativo es $\mathrm{0,0228}$, es decir, un $\mathrm{2,28}\mathrm{\%}$ de falsos negativos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{concentraciones}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{detectar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{test}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{calculada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{fuese}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $c$ al nuevo umbral de detección e imponemos que la cola izquierda valga $\mathrm{0,01}$.

$P(X<c)=\mathrm{0,01}$

Por la simetría de la campana, el valor tipificado que deja a su izquierda $\mathrm{0,01}$ es el opuesto del que deja a su izquierda $\mathrm{0,99}$:

$\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,33})=\mathrm{0,9901}\Rightarrow {\displaystyle \frac{c-20}{5}}=-\mathrm{2,33}$

$c=20-\mathrm{2,33}\cdot 5=20-\mathrm{11,65}=\mathrm{8,35}$



El test debería detectar concentraciones iguales o superiores a $\mathrm{8,35}\text{ U}$ para que los falsos negativos bajaran al $1\mathrm{\%}$.