Examen de Matemáticas II de Cantabria 2020 (convocatoria ordinaria)

Considere la ecuación $AX{A}^t=B$ en donde $A=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -1& 2\end{array}\right)$, y $A^t$ denota traspuesta de $A$.

a) Despeje la matriz $X$ en la igualdad dada. [0,5 puntos]

b) Compruebe que $A$ es invertible y calcule su inversa. [0,5 puntos]

c) Compruebe que $(A^{-1}{)}^t=(A^t{)}^{-1}$. [0,5 puntos]

d) Calcule $X$. [1 punto]

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{\sin (x)}{x}}$.

a) Calcule la derivada primera. [0,5 puntos]

b) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=\pi$. [0,5 puntos]

c) Calcule las asíntotas. [0,5 puntos]

d) Calcule ${\lim }_{x\to 0}f(x)$. [1 punto]

Se emite un rayo láser desde el punto $P=(1,2,8)$ en la dirección del vector $\vec{v}=(1,2,-3)$. El plano $-x-y+3z=-8$ determina la posición de una lámina de grandes dimensiones.

a) Calcule la ecuación de la recta que contiene al rayo láser. [0,5 puntos]

b) Determine la posición relativa de rayo y lámina. [1 punto]

c) Se quiere situar otra lámina que sea ortogonal al rayo y pase por el origen. Calcule la ecuación del plano de esta lámina. [1 punto]

Un determinado test rápido para anticuerpos de COVID-19 consigue detectar concentraciones iguales o superiores a 10 U, en donde U son unidades de concentración de anticuerpos. De esta forma, concentraciones iguales o superiores a 10 U dan un resultado positivo, mientras que concentraciones inferiores a 10 U dan un resultado negativo en el test. Suponemos que la concentración de anticuerpos sigue una distribución normal con media 20 U y desviación típica 5 U y que todas las personas que han pasado la enfermedad han desarrollado anticuerpos.

a) Calcule la probabilidad de que una persona que ha pasado la enfermedad dé negativo en el test. [1,25 puntos]

b) Calcule qué concentraciones debería detectar el test para que la probabilidad calculada en el apartado anterior fuese del 1 %. [1,25 puntos]

En un juego de mesa se pueden comprar tanques, submarinos y aviones por 1, 3 y 5 diamantes, respectivamente. El rival ha gastado 41 diamantes. Sabemos que tiene el doble de submarinos que de tanques, y que el número de submarinos más el de aviones es 10.

a) Con la información dada, plantee un sistema de ecuaciones para hallar el número de tanques, submarinos y aviones que tiene el rival. [1 punto]

b) Clasifique el sistema. [0,5 puntos]

c) Resuelva el sistema. [1 punto]

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x^2}}$.

a) Calcule el dominio y las asíntotas de $f(x)$. [1 punto]

b) Halle una primitiva de $f(x)$. [0,5 puntos]

c) Calcule el área de la región limitada por la función $y=f(x)$, las rectas $x=1$, $x=2$, y el eje $OX$ de abscisas. [1 punto]

Considere los puntos $A=(1,2,1)$, $B=(2,3,-4)$, $C=(4,3,2)$.

a) Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$. [0,5 puntos]

b) Halle la ecuación del plano que contiene los tres puntos. [1 punto]

c) Calcule el área del triángulo que forman los tres puntos. [1 punto]

En un concurso de televisión el premio consiste en lanzar de forma independiente un dado cúbico y una moneda (suponemos que ambos son perfectos). Por cada punto obtenido con el dado sumamos 100 € (si sacamos un 1 ganamos 100 €, si sacamos un 2 ganamos 200 €, etc.) y si en la moneda sale «Cara» sumamos 300 € adicionales.

a) Calcule la probabilidad de ganar exactamente 400 €. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de ganar 400 € si sabemos que ha salido «Cara» en la moneda. [0,5 puntos]

c) Calcule la probabilidad de que haya salido «Cara» sabiendo que hemos ganado 400 €. [1 punto]