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Examen de Matemáticas II de Cantabria 2022 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Cantabria, convocatoria extraordinaria de 2022. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro

t

{\begin{cases} t x + y + z = 4 \\ x - t y + z = 1 \\ x + y + z = t + 2 \end{cases}

a) Determine para qué valores de

t

el sistema tiene solución única. [0,75 puntos]

b) Determine para qué valores de

t

el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso. [1 punto]

c) Determine para qué valores de

t

el sistema no tiene solución. [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Derivadas

Considere la función

f (x) = \frac{e^{x}}{x}

.

a) Calcule la derivada primera de

f (x)

. [0,5 puntos]

b) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de

f (x)

en el punto de abscisa

x = 2

. [0,5 puntos]

c) Calcule las asíntotas verticales de

f (x)

. [0,5 puntos]

d) Calcule las asíntotas horizontales de

f (x)

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Los puntos

A = (0, - 1, 1)

B = (1, 1, 1)

son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice está contenido en la recta

r

que pasa por el punto

B

y es perpendicular al plano

π : 2 x - y + z = 1

.

a) Calcule la ecuación de la recta

r

. [1,5 puntos]

b) Calcule las coordenadas del vértice

C

sabiendo que el área del triángulo es

3 \sqrt{30}

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Distribución normal

El tiempo de vuelo de un avión Santander – Madrid sigue una distribución normal de media 60 minutos y desviación típica 5 minutos.

a) Para conectar con el siguiente vuelo con destino Sevilla, se necesita que el avión tarde menos de

T = 70

minutos. Calcule la probabilidad de perder el avión a Sevilla. [1,25 puntos]

b) Calcule cuánto debe valer

T

para que la probabilidad de perder el avión sea del 0,1 %. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Matrices

Sean las matrices

A = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ - 1 & 2 \end{array})

B = (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{array})

C = (\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{array})

.

a) Calcule

A^{2}

y compruebe que es regular. [0,5 puntos]

b) Calcule la matriz inversa de

A^{2}

. [0,5 puntos]

c) Despeje

X

en la ecuación matricial

A^{2} X + B = C

. [1 punto]

d) Calcule la matriz

X

de orden

2 \times 2

, que verifica

A^{2} X + B = C

. [0,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Integrales y Áreas

Considere la función

f (x) = \frac{3}{x}

.

a) Calcule el dominio y las asíntotas de

f (x)

. [1 punto]

b) Halle una primitiva de

f (x)

. [0,5 puntos]

c) Calcule el área de la región limitada por la función

y = f (x)

, las rectas

x = 1

x = e

y el eje OX de abscisas. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Rectas y Planos

Considere la recta

r : \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z}{1}

y el plano

π : x - 2 y - z = - 1

.

a) Estudie la posición relativa de recta y plano. [1 punto]

b) Si

r

corta a

π

calcule el punto de corte y el ángulo que forman. Si la recta no corta al plano, calcule la distancia entre ambos. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Probabilidad

El 90 % de las personas de una población están vacunadas contra la enfermedad

E

. El 5 % de las personas no vacunadas tienen la enfermedad

E

, y el 1 % de las personas vacunadas también han contraído la enfermedad. Se selecciona una persona al azar de dicha población:

a) Calcule la probabilidad de que la persona esté enferma. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que esté vacunada sabiendo que está enferma. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8