Examen de Matemáticas II de Cantabria 2021 (convocatoria ordinaria)

Considere el vector $v=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$, $v\in {\mathbb{R}}^2$, y la matriz de rotación $R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right)$.

a) Compruebe para $\theta =\frac{\pi }{2}$ que $R(\theta )\cdot v$ rota el vector $v$ un ángulo $\theta$ en sentido antihorario. [0,5 puntos]

b) Compruebe para $\theta =\frac{\pi }{2}$ que $R^2(\theta )\cdot v$ rota el vector $v$ un ángulo $2\theta$ en sentido antihorario. [0,5 puntos]

c) Compruebe que la matriz $R(\theta )$ es invertible para cualquier valor de $\theta$. [0,5 puntos]

d) Calcule la matriz inversa de $R(\theta )$ y compruebe que $R^{-1}(\theta )=R(-\theta )$. [1 punto]

Considere la función $f(x)=x^2$.

a) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=1$. Llamaremos a dicha recta $g(x)$. [0,5 puntos]

b) Calcule el área de la región limitada por las rectas $g(x)$, $x=\frac{1}{2}$, $x=1$, y el eje $OX$ de abscisas. [0,5 puntos]

c) Halle una primitiva $F(x)$ de la función $f(x)$. [0,5 puntos]

d) Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función $f(x)$, y las rectas $g(x)$, $x=\frac{1}{2}$. [1 punto]

Se dispara un misil en línea recta desde el punto $A=(1,2,8)$ hacia la posición de la base enemiga $B=(3,4,0)$.

a) Calcule la ecuación de la recta que contiene la trayectoria del misil. [0,5 puntos]

b) Calcule el punto en el que el misil cruza el plano $z=4$. [0,5 puntos]

c) Calcule la distancia que recorre el misil desde que se lanza hasta que impacta en $B$. [0,5 puntos]

d) Calcule un vector perpendicular a los vectores $\overrightarrow{OB}$ y $\overrightarrow{AB}$. [1 punto]

La testosterona es una hormona que se produce en el cuerpo de los hombres. En ciclismo la testosterona puede utilizarse como sustancia dopante, de forma que niveles elevados se consideran ilegales. En una población dada, la concentración de testosterona en sangre para un hombre adulto que no se haya dopado, sigue una distribución normal con media 600 ng/dl, y desviación típica 200 ng/dl.

a) Calcule la probabilidad de que un ciclista presente más de 1000 ng/dl de testosterona en sangre sin haberse dopado. [1,25 puntos]

b) ¿Qué nivel de testosterona elegiría como límite en un control antidopaje, para que la probabilidad de acusar a un inocente sea de 1 entre 1000? [1,25 puntos]

Considere el sistema de ecuaciones $\{\begin{array}{l}\lambda x-y=1\\ 4x-\lambda y=2\lambda -2\end{array}$ dependiente del parámetro $\lambda$.

a) Determine para qué valores de $\lambda$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso. [1 punto]

b) Determine para qué valores de $\lambda$ el sistema tiene solución única y resuélvalo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro $\lambda$ si es necesario. [1 punto]

c) Determine para qué valores de $\lambda$ el sistema no tiene solución. [0,5 puntos]

En una población, la proporción de personas infectadas por una determinada enfermedad en función del tiempo, $I(t)$, viene dada por la función $I(t)=\{\begin{array}{ll}k{e}^{2t}& \text{si }t<1\\ {\displaystyle \frac{t^2}{3t^2+1}}& \text{si }t\ge 1\end{array}$, siendo $k$ una constante real, $t$ el tiempo en años desde el inicio de la epidemia y $t=1$ el inicio de la vacunación.

a) Calcule el valor de $k$ para que $I(t)$ sea continua. [0,75 puntos]

b) Calcule la proporción de personas infectadas cuando $t\to \mathrm{\infty }$. [0,75 puntos]

c) Calcule la velocidad de crecimiento de $I(t)$ para el instante $t={\displaystyle \frac{1}{2}}$. [0,5 puntos]

d) Calcule la velocidad de crecimiento de $I(t)$ para el instante $t=2$. [0,5 puntos]

Considere el plano $\mathrm{\Pi }:2x+3y-4z=10$ y los puntos $A=(1,2,1)$, $B=(2,3,3)$.

a) Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$. [0,5 puntos]

b) Halle el vector normal del plano $\mathrm{\Pi }$. [0,25 puntos]

c) Determine la posición relativa del plano $\mathrm{\Pi }$, y la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$. [0,75 puntos]

d) Halle la ecuación del plano paralelo a $\mathrm{\Pi }$ que contiene al punto $A$. [1 punto]

En ajedrez, la mitad de las partidas se juegan con piezas blancas y la otra mitad con negras. Un determinado jugador gana el 40 % de las partidas oficiales que juega con blancas y el 30 % jugando con negras.

a) Calcule la probabilidad de que gane una partida concreta si no sabemos con qué piezas jugará. [1,25 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que haya jugado con blancas una partida concreta, sabiendo que ha ganado. [1,25 puntos]