Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

En una población, la proporción de personas infectadas por una determinada enfermedad en función del tiempo, $I(t)$, viene dada por la función $I(t)=\{\begin{array}{ll}k{e}^{2t}& \text{si }t<1\\ {\displaystyle \frac{t^2}{3t^2+1}}& \text{si }t\ge 1\end{array}$, siendo $k$ una constante real, $t$ el tiempo en años desde el inicio de la epidemia y $t=1$ el inicio de la vacunación.

a) Calcule el valor de $k$ para que $I(t)$ sea continua. [0,75 puntos]

b) Calcule la proporción de personas infectadas cuando $t\to \mathrm{\infty }$. [0,75 puntos]

c) Calcule la velocidad de crecimiento de $I(t)$ para el instante $t={\displaystyle \frac{1}{2}}$. [0,5 puntos]

d) Calcule la velocidad de crecimiento de $I(t)$ para el instante $t=2$. [0,5 puntos]

Cada rama es continua por separado —una exponencial y una racional cuyo denominador no se anula nunca—, de modo que el único punto que hay que estudiar es el de empalme, $t=1$. Igualamos los dos límites laterales.

${\lim }_{t\to 1^{-}}k{e}^{2t}=k{e}^2,{\lim }_{t\to 1^{+}}{\displaystyle \frac{t^2}{3t^2+1}}={\displaystyle \frac{1}{4}}=I(1)$

$k{e}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow k={\displaystyle \frac{1}{4e^2}}\approx \mathrm{0,0338}$





Para $t$ grande manda la segunda rama, y el límite de una racional con numerador y denominador del mismo grado es el cociente de los coeficientes principales.

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{t^2}{3t^2+1}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\approx \mathrm{0,3333}$

A largo plazo la proporción de infectados se estabiliza en ${\displaystyle \frac{1}{3}}$, es decir, un tercio de la población.



La velocidad de crecimiento es la derivada. Como $\frac{1}{2}<1$, derivamos la primera rama con el valor de $k$ del apartado a).

$I^{\mathrm{\prime }}(t)=2k{e}^{2t}={\displaystyle \frac{2}{4e^2}}{e}^{2t}={\displaystyle \frac{e^{2t}}{2e^2}}$

$I^{\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{e}{2e^2}}={\displaystyle \frac{1}{2e}}\approx \mathrm{0,1839}$



Ahora $2>1$, así que derivamos la segunda rama con la regla del cociente.

$I^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{2t(3t^2+1)-t^2\cdot 6t}{(3t^2+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{6t^3+2t-6t^3}{(3t^2+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2t}{(3t^2+1{)}^2}}$

$I^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{4}{(12+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{4}{169}}\approx \mathrm{0,0237}$

La epidemia crece mucho más despacio a los dos años que a los seis meses, que es lo que cabe esperar tras el inicio de la vacunación.