Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Estudie la continuidad en $\mathbb{R}$ de la siguiente función:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{{\cos }^2(\pi x)-1}{1-x}}& x<1\\ \ln (x\cdot e^{x+1})-2x& x\ge 1\end{array}$ [2,5 puntos]

La función está definida a trozos, así que estudiamos por separado cada rama y después el punto de empalme.

Para $x<1$ la expresión es un cociente cuyo denominador, $1-x$, no se anula —solo lo haría en $x=1$, que no pertenece a ese trozo—, y cuyo numerador es continuo por serlo el coseno. La función es, pues, continua en $(-\mathrm{\infty },1)$.

Para $x\ge 1$ conviene simplificar la expresión aplicando las propiedades del logaritmo:

$\ln (x\cdot e^{x+1})-2x=\ln x+\ln e^{x+1}-2x=\ln x+x+1-2x=\ln x-x+1$

Como $x\ge 1>0$, el logaritmo está definido y la rama es continua en $[1,+\mathrm{\infty })$.

Queda el punto $x=1$. Calculamos los dos límites laterales y el valor de la función.

$f(1)=\ln 1-1+1=0$

${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{\lim }(\ln x-x+1)=0-1+1=0}$

Para el límite por la izquierda usamos la identidad fundamental, ${\cos }^2(\pi x)-1=-{\sin }^2(\pi x)$:

${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{{\cos }^2(\pi x)-1}{1-x}}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{-{\sin }^2(\pi x)}{1-x}}=\left({\displaystyle \frac{0}{0}}\right)}$

Aplicamos la regla de L'Hôpital:



Los tres valores coinciden:

${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=f(1)=0}$

luego $f$ es continua también en $x=1$.

La función es continua en todo $\mathbb{R}$.