Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Sea la función $f(x)=\ln (\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{6}}-\cos {\displaystyle \frac{\pi x}{6}})$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[2,4]$. [1 punto]

b) Demuestre que existe un valor $\alpha \in (2,4)$ tal que $f(\alpha )=0$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Demuestre}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">4</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

El logaritmo es continuo donde su argumento es positivo, así que estudiamos el signo de

$g(x)=\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{6}}-\cos {\displaystyle \frac{\pi x}{6}}$

Conviene escribirlo como un solo seno:

$\sin \theta -\cos \theta =\sqrt{2}\sin (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\Rightarrow g(x)=\sqrt{2}\sin ({\displaystyle \frac{\pi x}{6}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

Cuando $x$ recorre $[2,4]$, el argumento $\frac{\pi x}{6}-\frac{\pi }{4}$ recorre

$[{\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}},{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}]=[{\displaystyle \frac{\pi }{12}},{\displaystyle \frac{5\pi }{12}}]$

que está contenido en $(0,\frac{\pi }{2})$, donde el seno es positivo. Luego $g(x)>0$ en todo $[2,4]$ —su valor mínimo es $\sqrt{2}\sin \frac{\pi }{12}\approx \mathrm{0,366}$— y la función es continua en el intervalo, por ser composición de continuas.



El resultado que se aplica es el teorema de Bolzano: si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos distintos, existe algún $\alpha \in (a,b)$ con $f(\alpha )=0$. La continuidad ya está probada.

Calculamos los valores en los extremos:

$f(2)=\ln (\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}})=\ln ({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}})=\ln (\mathrm{0,366})\approx -\mathrm{1,005}<0$

$f(4)=\ln (\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}})=\ln ({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}})=\ln (\mathrm{1,366})\approx \mathrm{0,312}>0$

Los signos son opuestos, luego existe $\alpha \in (2,4)$ tal que $f(\alpha )=0$.

De hecho puede identificarse: $f(x)=0$ equivale a que el argumento del logaritmo valga 1, es decir,

$\sqrt{2}\sin ({\displaystyle \frac{\pi x}{6}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=1\Rightarrow {\displaystyle \frac{\pi x}{6}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\Rightarrow x=3$

de modo que $\alpha =3$.