Hodeia · Selectividad · Matemáticas II de Navarra

Examen de Matemáticas II de Navarra 2022 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Navarra, convocatoria extraordinaria de 2022. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real

a

y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

{\begin{cases} (a^{2} - 1) x + a y + a^{2} z = 1 \\ (a^{2} - 1) x + (a + 1) y + (a^{2} + a) z = 2 \\ y + (a^{2} + 2 a) z = a + 2 \end{cases}

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

Demuestre que se cumple

∣ A \cdot B ∣ = 0

para toda matriz

A

de dimensión

3 \times 2

, siendo

B

la siguiente matriz:

B = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array})

[2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Calcule la ecuación general del plano

π

perpendicular al plano

α \equiv 2 x - y - z - 1 = 0

, sabiendo que contiene al punto

P (- 1, 2, 1)

y que la intersección de ambos planos es paralela a la siguiente recta:

r \equiv {\begin{cases} x + y - 2 z - 3 = 0 \\ y - z - 3 = 0 \end{cases}

[2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Encuentre los puntos de la recta

r \equiv {\begin{cases} 3 x - y + z - 6 = 0 \\ x - y + 3 z - 8 = 0 \end{cases}

que son centro de una esfera de radio 3, tangente al plano

π \equiv 2 x + 2 y - z - 7 = 0

. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Derivadas

Sea la función

f (x) = \sin (\frac{π}{4} \ln \frac{1}{x})

.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo

[\frac{1}{e}, e]

. [0,75 puntos]

b) Demuestre que existe un valor

α \in (\frac{1}{e}, e)

tal que

f^{'} (α) = \frac{e \sqrt{2}}{1 - e^{2}}

. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Límites y continuidad

Calcule los siguientes límites:

\lim_{x \to + \infty} {(\frac{x^{2}}{x^{2} + x - 1})}^{2 x - 1}

[1,25 puntos]

\lim_{x \to 0} \frac{(e^{x} - 1)^{2}}{\ln (x + 1) - x}

[1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Límites y continuidad

Sea la función

f (x) = \ln (\sin \frac{π x}{6} - \cos \frac{π x}{6})

.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo

[2, 4]

. [1 punto]

b) Demuestre que existe un valor

α \in (2, 4)

tal que

f (α) = 0

. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Calcule el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de estas dos funciones:

f (x) = x^{3} - 3 x - 2

g (x) = x - 2