Hodeia · Selectividad · Matemáticas II de Navarra

Examen de Matemáticas II de Navarra 2024 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Navarra, convocatoria extraordinaria de 2024. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real

a

y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

{\begin{cases} x + (a^{2} + a) z = 0 \\ x + (2 a - 1) y + (a + 1) z = a \\ (2 a - 1) y + (a + 1) z = 0 \end{cases}

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

Sean

A

P

Q

tres matrices cuadradas regulares tales que

Q \cdot A \cdot P = I

, donde

I

es la matriz identidad de la misma dimensión.

a) Demuestre que

A \cdot P \cdot Q \cdot A = Q^{- 1} \cdot P^{- 1}

[1,5 puntos]

b) Calcule la matriz

A

para el caso en que

P

Q

sean las siguientes:

P = (\begin{array}{cc} - 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array})

Q = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{array})

[1 punto]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Se consideran el plano

π \equiv 2 x + y - z - 5 = 0

, la recta

r \equiv {\begin{cases} x + 2 z + 3 = 0 \\ - x - y + z + 4 = 0 \end{cases}

y los puntos

A (3, 2, - 1)

B (1, 1, - 1)

. Sea

C

la intersección entre la recta y el plano.

a) Demuestre que los puntos

A

B

C

no están alineados. [1,25 puntos]

b) Calcule el área del triángulo que conforman los tres puntos. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

El punto

P (4, 5, 0)

es el punto medio de un lado de un cuadrado. El lado paralelo al anterior está contenido en la recta de ecuación

r \equiv {\begin{cases} 2 x + 2 y + z = 0 \\ 2 x - z - 2 = 0 \end{cases}

. Calcule los dos vértices que determinan este segundo lado. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Límites y continuidad

Calcule los siguientes límites:

a)

\lim_{x \to + \infty} \frac{(\ln x)^{2}}{\sqrt{x}}

[1,25 puntos]

b)

\lim_{x \to 1} x^{\frac{2 x}{x - 1}}

[1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Derivadas

Se considera la función

f (x) = \cos (π x) + \sin (π x)

.

a) Estudie la continuidad de la función en el intervalo

[0, 1]

. [0,5 puntos]

b) Halle sus extremos relativos y absolutos en ese mismo intervalo. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Derivadas

Se considera la función

f (x) = \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 3}

.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo

[- 1, 3]

y derivable en

(- 1, 3)

. [1,25 puntos]

b) Compruebe que existe un valor

α \in (- 1, 3)

tal que

f^{'} (α) = \frac{\sqrt{3}}{2}

. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Encuentre los dos puntos en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

f (x) = \ln x

g (x) = \frac{x - 1}{e - 1}

Calcule el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8