Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Encuentre los dos puntos en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

$f(x)=\ln x$ y $g(x)={\displaystyle \frac{x-1}{e-1}}$

Calcule el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas. [2,5 puntos]

Igualamos las dos funciones:

$\ln x={\displaystyle \frac{x-1}{e-1}}$

La recta $g$ pasa por $(1,0)$ y por $(e,1)$, y esos son precisamente dos puntos de la curva logarítmica, porque $\ln 1=0$ y $\ln e=1$. Sustituyendo se comprueba:

$x=1:\ln 1=0={\displaystyle \frac{1-1}{e-1}}x=e:\ln e=1={\displaystyle \frac{e-1}{e-1}}$

No hay más cortes: $g$ es la cuerda que une dos puntos de la gráfica de $\ln x$, que es una función cóncava en todo su dominio —su derivada segunda, $-\frac{1}{x^2}$, es siempre negativa—, y una cóncava corta a cada recta en dos puntos a lo sumo.

Los puntos de corte son, por tanto, $(1,0)$ y $(e,1)$.

Por la misma concavidad, entre $1$ y $e$ la curva queda por encima de la cuerda. Se confirma en un punto intermedio, $x=2$:

$\ln 2\approx \mathrm{0,6931}{\displaystyle \frac{2-1}{e-1}}\approx \mathrm{0,5820}$



El área es la integral de la diferencia entre $1$ y $e$:

$A={\displaystyle {\int }_1^e(\ln x-{\displaystyle \frac{x-1}{e-1}})dx}$

La primera integral se hace por partes, con $u=\ln x$ y $dv=dx$:

${\displaystyle \int \ln xdx=x\ln x-\int x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}dx=x\ln x-x}$

${\displaystyle {\int }_1^e\ln xdx={[x\ln x-x]}_1^e=(e-e)-(0-1)=1}$

La segunda es inmediata:

${\displaystyle {\int }_1^e{\displaystyle \frac{x-1}{e-1}}dx={\displaystyle \frac{1}{e-1}}{\left[{\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{2}}\right]}_1^e={\displaystyle \frac{1}{e-1}}\cdot {\displaystyle \frac{(e-1{)}^2}{2}}={\displaystyle \frac{e-1}{2}}}$

$A=1-{\displaystyle \frac{e-1}{2}}={\displaystyle \frac{2-e+1}{2}}={\displaystyle \frac{3-e}{2}}\approx \mathrm{0,1409}{\text{u}}^2$

Las gráficas se cortan en $(1,0)$ y $(e,1)$, y el recinto que encierran tiene un área de ${\displaystyle \frac{3-e}{2}}\approx \mathrm{0,141}$ unidades cuadradas.