Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Encuentre los dos puntos en que se cortan las gráficas de $f(x)=2-2x^2$ y $g(x)=x^4-x^2$. Calcule el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas. [2,5 puntos]

Igualamos las dos funciones:

$2-2x^2=x^4-x^2\Rightarrow x^4+x^2-2=0$

Es una ecuación bicuadrada. Con $u=x^2$,

$u^2+u-2=0\Rightarrow u={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}u=1\\ u=-2\end{array}$

Se descarta $u=-2$, porque $x^2$ no puede ser negativo. Queda

$x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

Las ordenadas se obtienen sustituyendo: $f(1)=2-2=0$ y $f(-1)=0$. Los dos puntos de corte son

$(-1,0)\text{y}(1,0)$

Para saber qué curva va por encima evaluamos en un punto intermedio, $x=0$:

$f(0)=2g(0)=0$

luego $f(x)>g(x)$ en todo $(-1,1)$.



$A={\displaystyle {\int }_{-1}^1[(2-2x^2)-(x^4-x^2)]dx={\int }_{-1}^1(2-x^2-x^4)dx}$

Las dos funciones son pares, así que el recinto es simétrico respecto del eje $OY$ y basta integrar de 0 a 1 y duplicar:

$A=2{\displaystyle {\int }_0^1(2-x^2-x^4)dx=2{[2x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^5}{5}}]}_0^1}$

$A=2(2-{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{5}})=2\cdot {\displaystyle \frac{30-5-3}{15}}={\displaystyle \frac{44}{15}}\approx \mathrm{2,9333}{\text{u}}^2$

Las gráficas se cortan en $(-1,0)$ y $(1,0)$, y el recinto que encierran tiene un área de ${\displaystyle \frac{44}{15}}\approx \mathrm{2,93}$ unidades cuadradas.