Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Cuestión 4.

a) [1,5] Calcule la siguiente integral indefinida ${\displaystyle \int x^2\mathrm{sen}(x)dx}$.
b) [1] Determine el área del recinto limitado por el eje OX, las rectas verticales $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ y $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, y la gráfica de la función $f(x)=x^2\mathrm{sen}(x)$.

El integrando es el producto de un polinomio por una función trigonométrica, caso típico de integración por partes; hay que aplicarla dos veces para bajar el grado del polinomio.

$u=x^2\Rightarrow du=2xdx,dv=\mathrm{sen}xdx\Rightarrow v=-\cos x$

$\int x^2\mathrm{sen}xdx=-x^2\cos x+2\int x\cos xdx$

Repetimos con la integral que queda:

$u=x\Rightarrow du=dx,dv=\cos xdx\Rightarrow v=\mathrm{sen}x$

$\int x\cos xdx=x\mathrm{sen}x-\int \mathrm{sen}xdx=x\mathrm{sen}x+\cos x$

$\int x^2\mathrm{sen}xdx=-x^2\cos x+2x\mathrm{sen}x+2\cos x+C$



Estudiamos primero el signo del integrando, porque la curva cruza el eje dentro del intervalo. Como $x^2\ge 0$, el signo lo marca el seno:

$f(x)\le 0\text{ en }[-\frac{\pi }{2},0],f(x)\ge 0\text{ en }[0,\frac{\pi }{2}]$



La función es impar (producto de una par por una impar), de modo que los dos trozos tienen la misma área y basta calcular uno y duplicarlo.

$A={\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}\mid x^2\mathrm{sen}x\mid dx=2{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{x}^2\mathrm{sen}xdx$

Aplicamos la regla de Barrow con la primitiva del apartado anterior:

$F\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=0+2\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cdot 1+0=\pi ,F(0)=0+0+2=2$

$A=2(\pi -2)=2\pi -4$

El área del recinto es de $2(\pi -2)\approx \mathrm{2,28}$ unidades cuadradas.