Matemáticas II · Integrales y Áreas · Comunidad Valenciana · 2024

Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Solución

$\acute{\text{A}}\text{rea del rect}\acute{\text{a}}\text{ngulo: }{A}_k=2\cdot 1=2u^2$

i) Puntos de corte entre $f(x)$ y $g(x)$:

$f(x)=g(x)\Rightarrow x^2=a\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-\sqrt{a}\\ x=\sqrt{a}\end{array}$

ii) Área $A_i$:

$A_i={\int }_{-1}^{-\sqrt{a}}(x^2-a)dx+{\int }_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}}(a-x^2)dx+2\cdot {\int }_{\sqrt{a}}^1(\frac{1}{2}{x}^2-a)dx=$

$[(ax-\frac{x^3}{3}){]}_{-1}^{-\sqrt{a}}+2\cdot [(a-x^2){]}_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{\alpha }}+2\cdot [(\frac{1}{2}{x}^2-a){]}_{\sqrt{a}}^1$

$=\frac{4}{3}{\sqrt{a}}^3+2\cdot [\frac{1}{3}-\alpha +\frac{2\sqrt{a^3}}{3}]$

$\frac{4}{3}\sqrt{a^3}+\frac{2}{3}-2a+\frac{4}{3}\sqrt{a^3}=\frac{8}{3}(\sqrt{a^3}-2a)+\frac{2}{3}=a(\frac{8}{3}\sqrt{a}-2)+\frac{2}{3}$

$\text{Si el }\acute{\text{a}}\text{rea entre las funciones dentro del rect}\acute{\text{a}}\text{ngulo es }\frac{1}{3}\text{ de }{A}_r:$

$a(\frac{8}{3}\sqrt{a}-2)+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\Rightarrow a(\frac{8}{3}\sqrt{a}-2)=0$

$\Rightarrow \frac{8}{3}\sqrt{a}-2=0\Rightarrow a=\frac{9}{16}$

Donde $a<0$ no es solución pues el intervalo es $0<a<1$

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