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Examen de Matemáticas II de Navarra 2023 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Navarra, convocatoria ordinaria de 2023. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real

a

y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

{\begin{cases} x - y - z = 0 \\ 2 x + (2 a - 1) y + (\sqrt{2} - 2) z = 2 \\ - a x + a y + 2 a^{2} z = \sqrt{2} \end{cases}

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

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Ejercicio 2: Matrices

Calcule los valores de

t

para los que el rango de la matriz

A \cdot B

es máximo, siendo

A = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & t - 1 \\ 1 & t & 1 \end{array})

B = (\begin{array}{ccc} t + 1 & 1 & t \\ 0 & t & - 2 t + 1 \\ t + 1 & t + 1 & - t - 1 \end{array})

[2,5 puntos]

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Ejercicio 3: Rectas y Planos

Calcule la ecuación continua de la recta perpendicular a

r

s

que corta a ambas, siendo

r \equiv {\begin{cases} x - y - z + 2 = 0 \\ x - 3 y + 3 z - 8 = 0 \end{cases}

s \equiv \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 5}{- 4} = \frac{z}{- 2}

[2,5 puntos]

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Ejercicio 4: Rectas y Planos

Sean

P (1, 5, - 1)

y la recta

r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 4}{2}

.

a) Calcule el punto

Q \in r

tal que la distancia de

P

Q

sea mínima. [1,25 puntos]

b) Halle los puntos

Q_{1}

Q_{2}

pertenecientes a

r

tales que

d (P, Q_{1}) = d (P, Q_{2}) = 3 \sqrt{2}

. [1,25 puntos]

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Ejercicio 5: Integrales y Áreas

Calcule las siguientes integrales indefinidas:

a)

\int \frac{2 x - 5}{x^{2} + x - 2} d x

[1,25 puntos]

b)

\int x \ln x d x

[1,25 puntos]

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Ejercicio 6: Límites y continuidad

Estudie la continuidad en

R

de la siguiente función:

f (x) = {\begin{cases} \frac{\cos^{2} (π x) - 1}{1 - x} & x < 1 \\ \ln (x \cdot e^{x + 1}) - 2 x & x \geq 1 \end{cases}

[2,5 puntos]

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Ejercicio 7: Límites y continuidad

Se considera la función

f (x) = (x + 1) \sin (π x)

.

a) Demuestre que es continua en

R

. [0,5 puntos]

b) Compruebe que existe un valor

α \in (0, 1)

tal que

f (α) = \frac{3}{4}

. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Encuentre los dos puntos en que se cortan las gráficas de

f (x) = 2 - 2 x^{2}

g (x) = x^{4} - x^{2}

. Calcule el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8

Examen de Matemáticas II de Navarra 2023 (convocatoria ordinaria)

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio 2: Matrices

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Ejercicio 5: Integrales y Áreas

Ejercicio 6: Límites y continuidad

Ejercicio 7: Límites y continuidad

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

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