Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Se considera la función $f(x)=(x+1)\sin (\pi x)$.

a) Demuestre que es continua en $\mathbb{R}$. [0,5 puntos]

b) Compruebe que existe un valor $\alpha \in (0,1)$ tal que $f(\alpha )={\displaystyle \frac{3}{4}}$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Demuestre}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbb{R}\mathbf{\text{.}}$

La función es el producto de dos funciones continuas en todo $\mathbb{R}$: el polinomio $x+1$ y $\sin (\pi x)$, que es la composición del seno con una función lineal. El producto de funciones continuas es continuo, así que $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$.



El resultado que se aplica es el teorema de Bolzano —o, equivalentemente, el de los valores intermedios—: si $f$ es continua en $[a,b]$ y $k$ está comprendido entre $f(a)$ y $f(b)$, existe algún punto interior en el que la función vale $k$.

Los extremos del intervalo no sirven directamente, porque en los dos la función se anula:

$f(0)=(0+1)\sin 0=0f(1)=(1+1)\sin \pi =0$

y $\frac{3}{4}$ no está comprendido entre $0$ y $0$. Hay que elegir un subintervalo. Tomamos el punto medio:

$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=({\displaystyle \frac{1}{2}}+1)\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot 1={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Ahora sí: $f$ es continua en $[0,\frac{1}{2}]$ y

$f(0)=0<{\displaystyle \frac{3}{4}}<{\displaystyle \frac{3}{2}}=f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$

luego existe $\alpha \in (0,\frac{1}{2})$ con $f(\alpha )={\displaystyle \frac{3}{4}}$. Y como $(0,\frac{1}{2})\subset (0,1)$, ese $\alpha$ es también del intervalo pedido.

Existe, pues, al menos un valor $\alpha \in (0,1)$ tal que $f(\alpha )=\frac{3}{4}$. Por simetría, aplicando el mismo razonamiento en $[\frac{1}{2},1]$ se ve que en realidad hay dos.