Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Se considera la función $f(x)={\displaystyle \frac{\cos [\frac{\pi }{2}(x-1)]}{x^2-6x+10}}$.

a) Estudie la continuidad de la función en el intervalo $[1,4]$. [0,75 puntos]

b) Compruebe que existen dos valores $\alpha$ y $\beta$ en el intervalo $(1,4)$ tales que $f(\alpha )={\displaystyle \frac{-1}{2}}=f(\beta )$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{continuidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">4</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

El numerador es continuo en todo $\mathbb{R}$, por ser el coseno compuesto con una función lineal. El único problema podría venir de los ceros del denominador, así que lo completamos a cuadrado:

$x^2-6x+10={(x-3)}^2+1\ge 1>0$

El denominador no se anula nunca —su discriminante, $36-40=-4$, es negativo—, de modo que $f$ es un cociente de funciones continuas con denominador no nulo: es continua en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, en $[1,4]$.



El resultado que se aplica es el teorema de Bolzano —o el de los valores intermedios—: si $f$ es continua en $[a,b]$ y $k$ está comprendido entre $f(a)$ y $f(b)$, existe algún punto interior en el que la función vale $k$. La continuidad ya está probada en todo el intervalo.

Calculamos la función en tres puntos:

$f(1)={\displaystyle \frac{\cos 0}{1-6+10}}={\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{0,2}$

$f(3)={\displaystyle \frac{\cos \pi }{9-18+10}}={\displaystyle \frac{-1}{1}}=-1$

$f(4)={\displaystyle \frac{\cos \frac{3\pi }{2}}{16-24+10}}={\displaystyle \frac{0}{2}}=0$

i) En $[1,3]$: $f(3)=-1<-{\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{1}{5}}=f(1)$, luego existe $\alpha \in (1,3)$ con $f(\alpha )=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

ii) En $[3,4]$: $f(3)=-1<-{\displaystyle \frac{1}{2}}<0=f(4)$, luego existe $\beta \in (3,4)$ con $f(\beta )=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Los dos intervalos solo comparten el punto $x=3$, donde la función vale $-1\mathrm{\ne }-\frac{1}{2}$, así que $\alpha$ y $\beta$ son distintos. Existen, pues, los dos valores pedidos, los dos dentro de $(1,4)$.