Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule los siguientes límites:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\left({\displaystyle \frac{x^2}{x^2+x-1}}\right)}^{2x-1}}$ [1,25 puntos]

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{(e^x-1{)}^2}{\ln (x+1)-x}}}$ [1,25 puntos]

La base tiende a 1 y el exponente a infinito: es una indeterminación $1^{\mathrm{\infty }}$. Aplicamos la regla

${\displaystyle \lim f(x{)}^{g(x)}=e^{\lim g(x)[f(x)-1]}}$

$f(x)-1={\displaystyle \frac{x^2}{x^2+x-1}}-1={\displaystyle \frac{x^2-x^2-x+1}{x^2+x-1}}={\displaystyle \frac{1-x}{x^2+x-1}}$

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(2x-1)\cdot {\displaystyle \frac{1-x}{x^2+x-1}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{-2x^2+3x-1}{x^2+x-1}}=-2}$

—los dos polinomios son de grado 2 y el límite es el cociente de los coeficientes principales—. Por tanto,

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\left({\displaystyle \frac{x^2}{x^2+x-1}}\right)}^{2x-1}=e^{-2}\approx \mathrm{0,1353}}$



En $x=0$ el numerador vale $(1-1{)}^2=0$ y el denominador $\ln 1-0=0$: indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicamos L'Hôpital.



Sigue siendo indeterminado, así que volvemos a aplicarla:



Los límites pedidos valen $e^{-2}$ y $-2$.