Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Sea la función $f(x)=(x^2-3x+10{)}^{\log [2^{x-1}\cdot \sin \frac{\pi (x+2)}{6}]}$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[1,3]$. [1,25 puntos]

b) Demuestre que existe $\alpha \in (1,3)$ tal que $f(\alpha )={\displaystyle \frac{3}{2}}$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Demuestre}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

Se trata de una potencia de base y exponente variables, $f(x)=g(x{)}^{h(x)}$, y es continua allí donde lo son la base y el exponente y además la base es positiva.

La base, $g(x)=x^2-3x+10$, es un polinomio, luego continuo, y es siempre positiva porque su discriminante es negativo:

$\mathrm{\Delta }=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 10=9-40=-31<0$

El exponente es $h(x)=\log [2^{x-1}\sin {\displaystyle \frac{\pi (x+2)}{6}}]$, y el logaritmo exige que su argumento sea positivo. El factor $2^{x-1}$ lo es siempre; en cuanto al seno, cuando $x$ recorre $[1,3]$ el ángulo ${\displaystyle \frac{\pi (x+2)}{6}}$ recorre

$[{\displaystyle \frac{3\pi }{6}},{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}]=[{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}]$

donde el seno va de 1 a $\frac{1}{2}$, siempre positivo. El argumento del logaritmo es, pues, positivo en todo el intervalo y $h$ es continua.

Por tanto $f$ es continua en $[1,3]$.



El resultado que se aplica es el teorema de los valores intermedios: una función continua en $[a,b]$ toma en $(a,b)$ todos los valores comprendidos entre $f(a)$ y $f(b)$. La continuidad está probada.

$f(1)={(1-3+10)}^{\log [2^0\sin \frac{\pi }{2}]}=8^{\log 1}=8^0=1$

$f(3)={(9-9+10)}^{\log [2^2\sin \frac{5\pi }{6}]}={10}^{\log (4\cdot \frac{1}{2})}={10}^{\log 2}=2$

—en el último paso se usa que el logaritmo es decimal, de modo que ${10}^{\log 2}=2$—.

Como

$f(1)=1<{\displaystyle \frac{3}{2}}<2=f(3)$

el teorema garantiza que existe $\alpha \in (1,3)$ con $f(\alpha )={\displaystyle \frac{3}{2}}$, que es lo que se quería demostrar.