Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcular:

a) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{x(e^x-1)}{\cos (x)-1}}}$. [1 punto]

b) ${\displaystyle {\int }_0^2{e}^{-x}(x-1)dx}$. [1 punto]

Al sustituir aparece una indeterminación, porque numerador y denominador se anulan a la vez.

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{x(e^x-1)}{\cos (x)-1}}={\displaystyle \frac{0\cdot 0}{1-1}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$

Aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando por separado numerador y denominador:



Sigue siendo indeterminado, así que volvemos a aplicarla:



El valor del límite es $-2$.



El integrando es el producto de un polinomio por una exponencial, caso típico de integración por partes tomando como $u$ el polinomio.

$\{\begin{array}{ll}u=x-1& du=dx\\ dv=e^{-x}dx& v=-e^{-x}\end{array}$

$\int e^{-x}(x-1)dx=-(x-1)e^{-x}+\int e^{-x}dx=-(x-1)e^{-x}-e^{-x}$

$\int e^{-x}(x-1)dx=-e^{-x}(x-1+1)=-x{e}^{-x}$

Se comprueba derivando: ${(-x{e}^{-x})}^{\mathrm{\prime }}=-e^{-x}+x{e}^{-x}=e^{-x}(x-1)$.

Aplicando la regla de Barrow:

${\int }_0^2{e}^{-x}(x-1)dx={[-x{e}^{-x}]}_0^2=-2e^{-2}-0$

${\int }_0^2{e}^{-x}(x-1)dx=-{\displaystyle \frac{2}{e^2}}\approx -\mathrm{0,271}$

El valor de la integral es $-{\displaystyle \frac{2}{e^2}}\approx -\mathrm{0,271}$. Es negativa porque en casi todo el intervalo el integrando lo es: solo pasa a ser positivo a partir de $x=1$.