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Examen de Matemáticas II de Castilla y León 2024 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Castilla y León, convocatoria ordinaria de 2024. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro a∈R: [1,2 puntos]

{x+y2+z=02ax+y=02x+y+az=0

b) Resolverlo para a=1. [0,8 puntos]

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Ejercicio 2: Matrices

Sean a∈R y M=(112a1011a).

a) Calcular el determinante y el rango de M para cada valor a∈R. [1 punto]

b) Para a=0, calcular el determinante de la matriz P cuando 2PM=M3. [1 punto]

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Ejercicio 3: Rectas y Planos

Hallar el punto simétrico del punto P=(1,0,−1) respecto de la recta r≡x−11=y2=z2. [2 puntos]

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Ejercicio 4: Rectas y Planos

a) Determinar los valores del parámetro k∈R para los que las dos rectas

r1≡{x=1y=ktz=k−2t,t∈R y r2≡{x+2y+2z=−1x+y+z=k

son paralelas. [1 punto]

b) Para k=2, ¿existe algún plano que contenga a las rectas r1 y r2? En caso afirmativo calcular el plano o los planos que las contengan. [1 punto]

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Ejercicio 5: Límites y continuidad

Probar que la ecuación e−x(x−1)=1 no tiene solución para x∈R. [2 puntos]

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Ejercicio 6: Derivadas

Se considera la función f(x)=x3+Ax2+Bx+C. Determinar el valor de los parámetros A, B y C tales que f(−1)=0, la función f presenta un extremo relativo en x=0 y la recta tangente a la gráfica de la función f en x=−1 es paralela a la recta de ecuación y+3x=0. [2 puntos]

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Ejercicio 7: Funciones

Dada la función f(x)=exx−1, determinar su dominio de definición, asíntotas verticales y horizontales, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esbozar su gráfica. [2 puntos]

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Ejercicio 8: Límites y continuidad

Calcular:

a) lim⁡x→0x(ex−1)cos⁡(x)−1. [1 punto]

b) ∫02e−x(x−1) dx. [1 punto]

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Ejercicio 9: Probabilidad

Entre los vehículos que revisa un taller mecánico:

El 48 % de ellos son coches, de los cuales las tres cuartas partes requieren reparación.

El 28 % son motocicletas y entre ellas la mitad requieren reparación.

El 24 % son furgonetas, de las cuales un tercio requieren reparación.

Se consideran los sucesos C= «coche», M= «motocicleta», F= «furgoneta» y R= «requiere reparación».

a) Indicar qué probabilidades de sucesos, condicionados o no, se consideran en el enunciado y cuáles son sus valores. [0,2 puntos]

b) Calcular P(R∩F), P(R) y P(C/R). [1,3 puntos]

c) ¿Son independientes los sucesos C y R? [0,5 puntos]

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Ejercicio 10: Distribución normal

Se sabe que la cantidad de tiempo que los habitantes de Astorga usan el móvil cada día sigue aproximadamente una distribución normal de media 160 minutos y desviación típica 30 minutos. Calcular:

a) La probabilidad de que un habitante determinado de Astorga use el móvil cada día menos de dos horas. [1 punto]

b) El porcentaje de habitantes de Astorga que usan el móvil cada día más de tres horas y 50 minutos. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 10

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