Examen de Matemáticas II de Castilla y León 2026 (convocatoria ordinaria)

Considerar el siguiente sistema de ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}(m-10)x-2y-z=-1\\ 7x+(m+2)y+2z=m+1\\ 5x+2y+z=1\end{array}$, donde $m\in \mathbb{R}$.

a) Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro $m$. [1,5 puntos]

b) Resolver, razonadamente, el sistema de ecuaciones para $m=3$. [1 punto]

a) Calcular $A$ si $(AB{)}^t=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$. [1 punto]

b) Si $M=\left(\begin{array}{cc}3& x\\ y& z\end{array}\right)$ es invertible, calcular $x$, $y$ y $z$ sabiendo que $(3z)M^{-1}+I=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 4\end{array}\right)$. Entiéndase que $I$ es la matriz identidad. [1,5 puntos]

a) Calcular ${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{x^3-5}{\sqrt{x}}}dx}$. [1,25 puntos]

b) Probar que la función $f(x)=2-e^x$ posee una sola raíz real, encontrando un intervalo que la contenga. [1,25 puntos]

a) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^x}}$, determinar su dominio de definición, su monotonía y sus asíntotas. Justificar la existencia o no de extremos relativos. [1,5 puntos]

b) Calcular ${\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\mathrm{sen}(x)\cos (x)dx}$. [1 punto]

Dados el plano ${\pi }_1\equiv 2x-3y+z=a$ y el plano ${\pi }_2$ determinado por el punto $P(0,2,4)$ y los vectores directores ${\vec{v}}_1=(0,2,6)$ y ${\vec{v}}_2=(1,0,b)$, se pide:

a) Calcular los valores de $a$ y $b$ para que ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$ sean paralelos y distintos. [0,75 puntos]

b) Para $a=1$ y $b=0$ determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$. [0,75 puntos]

c) Para $a=4$ y $b=-2$ determinar los puntos que están a igual distancia de ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$. [1 punto]

Una empresa fabrica móviles de tres marcas distintas: $A$, $N$ y $M$. El 20 % de los móviles son de la marca $A$ y el 40 % de la marca $N$. Se decide instalar un software oculto que permita espiar a los usuarios de estos móviles. El software oculto se instala en el 15 % de los móviles de la marca $A$, en un 10 % de la marca $N$ y en un 12 % de la marca $M$. Se pide:

a) Describir todas las probabilidades, condicionadas y no condicionadas, que se deducen directamente del enunciado. [0,3 puntos]

b) Determinar la probabilidad de que un móvil fabricado por esta empresa tenga instalado el software espía. [1 punto]

c) Si un móvil fabricado por esta empresa tiene instalado el software espía, calcular la probabilidad de que sea de la marca $A$. [1,2 puntos]

De una bolsa de 20 fichas numeradas del 1 al 20 se extraen sucesivamente 2 fichas sin reemplazamiento. Se pide:

a) Calcular la probabilidad de que ambos números sean múltiplos de 3. [0,5 puntos]

b) Calcular la probabilidad de que el primer número sea múltiplo de 6 y el segundo sea múltiplo de 3. [0,75 puntos]

c) Calcular la probabilidad de que ninguno de los dos números sea múltiplo de 2. [0,75 puntos]

d) Calcular la probabilidad de que la segunda ficha sea un número impar, sabiendo que la primera también lo ha sido. [0,5 puntos]