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Examen de Matemáticas II de Castilla y León 2022 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Castilla y León, convocatoria ordinaria de 2022. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Dado el sistema

{\begin{cases} 2 x + 2 m y - z = 0 \\ x + 2 y + m z = 0 \\ x - m y + m z = 0 \end{cases}

a) Discuta el sistema según los distintos valores de

m

. [1 punto]

b) Resuelva el sistema si

m = - 2

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

Dada la matriz

A = (\begin{array}{cc} a & a \\ 0 & 1 \end{array})

, calcule el valor de

a

que hace que:

A^{2} = A^{- 1} + (\begin{array}{cc} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{array})

[2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

a) Dada la recta

r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{4}

y el plano

π \equiv 2 x + y + m z = 0

, calcule

m

para que la recta y el plano sean perpendiculares. [1 punto]

b) Calcule el plano perpendicular a los planos

π \equiv x + y + z = 1

π_{1} \equiv x - y + z = 2

, que pasa por el punto

(1, 2, 3)

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Considere el punto

P = (2, 2, 1)

y el plano

π \equiv 2 x + 3 y - 3 z + 6 = 0

.

a) Halle la recta que pasa por

P

y es perpendicular a

π

. [1 punto]

b) Calcule la distancia del punto

Q = (2, 2, - 2)

al plano

π

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Funciones

Dada la función

f (x) = x e^{x}

, determínense su dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. Esbócese también su gráfica. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Límites y continuidad

Calcule:

a)

\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - x - 1}{x^{2}}

[1 punto]

b)

\int_{0}^{1} x e^{x} d x

[1 punto]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Integrales y Áreas

Dadas las curvas de ecuaciones

y = \sqrt{3 x}

y = \frac{1}{3} x^{2}

:

a) Dibuje las curvas y señale el recinto plano comprendido entre ambas. [1 punto]

b) Calcule el área de dicho recinto. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

a) Halle el área del recinto del plano limitado por la gráfica de

f (x) = x^{3} - 4 x

, el eje OX y las rectas

x = 0

x = 2

. [1 punto]

b) Calcule

\lim_{x \to 0} \frac{x sen x}{2 - 2 \cos x}

[1 punto]

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Probabilidad

Una corporación fabrica herramientas de 3 tipos de calidades. Un 10 % de calidad Alta, un 70 % de calidad Estándar y un 20 % de calidad Baja. Se sabe que son defectuosas el 1 %, el 10 % y el 30 % del total de las herramientas respectivamente.

a) Se elige una herramienta al azar. Definiendo correctamente los sucesos que intervienen, calcúlese la probabilidad de que sea defectuosa. [1 punto]

b) Se elige una herramienta que resulta ser defectuosa. Definiendo correctamente los sucesos que intervienen, calcúlese la probabilidad de que la elegida sea de calidad estándar. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Distribución normal

El tiempo que transcurre hasta la primera avería de una unidad de cierta marca de impresoras viene dado, aproximadamente, por una distribución normal con un promedio de 1500 horas y una desviación típica de 200 horas.

a) ¿Qué porcentaje de impresoras fallarán antes de 1000 horas de funcionamiento? [1 punto]

b) Si compramos 500 impresoras, ¿cuántas de esas impresoras tendrán la primera avería entre las 1000 y 2000 horas de uso? [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 10

Examen de Matemáticas II de Castilla y León 2022 (convocatoria ordinaria)

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio 2: Matrices

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Ejercicio 5: Funciones

Ejercicio 6: Límites y continuidad

Ejercicio 7: Integrales y Áreas

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Ejercicio 9: Probabilidad

Ejercicio 10: Distribución normal

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