Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

El tiempo que transcurre hasta la primera avería de una unidad de cierta marca de impresoras viene dado, aproximadamente, por una distribución normal con un promedio de 1500 horas y una desviación típica de 200 horas.

a) ¿Qué porcentaje de impresoras fallarán antes de 1000 horas de funcionamiento? [1 punto]

b) Si compramos 500 impresoras, ¿cuántas de esas impresoras tendrán la primera avería entre las 1000 y 2000 horas de uso? [1 punto]

Llamamos $X$ al tiempo, en horas, que transcurre hasta la primera avería de una impresora. Según el enunciado

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(1500;200)$

y para consultar la tabla usaremos la variable tipificada $Z={\displaystyle \frac{X-1500}{200}}\sim N(0,1)$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{impresoras}}\mathbf{\text{fallar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{antes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1000}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{funcionamiento?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

$P(X<1000)=P(Z<{\displaystyle \frac{1000-1500}{200}})=P(Z<-\mathrm{2,5})$

La tabla solo recoge valores positivos, así que usamos la simetría de la campana:

$P(Z<-\mathrm{2,5})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,5})=1-\mathrm{0,9938}=\mathrm{0,0062}$



Fallará antes de las 1000 horas el $\mathrm{0,62}\mathrm{\%}$ de las impresoras.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{compramos}}\mathbf{\text{500}}\mathbf{\text{impresoras,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esas}}\mathbf{\text{impresoras}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{aver}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{1000}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{2000}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{uso?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Los dos extremos están a la misma distancia de la media —$500$ horas, es decir, $\mathrm{2,5}$ desviaciones típicas—, de modo que el intervalo es simétrico respecto de ella:

$P(1000<X<2000)=P(-\mathrm{2,5}<Z<\mathrm{2,5})=2\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,5})-1$

$=2\cdot \mathrm{0,9938}-1=\mathrm{0,9876}$



El número esperado de impresoras se obtiene multiplicando esa proporción por el total comprado:

$500\cdot \mathrm{0,9876}=\mathrm{493,8}$

De las 500 impresoras, alrededor de $494$ tendrán su primera avería entre las 1000 y las 2000 horas de uso.