Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

El peso de los alumnos de 2.º de bachillerato de un instituto de León sigue una distribución normal, de media 75 kg y de desviación típica 5. Si se elige al azar un alumno, calcular la probabilidad de que:

a) Tenga un peso entre 70 y 80 kg. [1 punto]

b) Tenga un peso superior a 85 kg. [1 punto]

Llamamos $X$ al peso, en kilogramos, de un alumno tomado al azar. Según el enunciado

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(75;5)$

y para consultar la tabla usaremos la variable tipificada $Z={\displaystyle \frac{X-75}{5}}\sim N(0,1)$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Tenga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{70}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{80}}\mathbf{\text{kg.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo:

$P(70<X<80)=P({\displaystyle \frac{70-75}{5}}<Z<{\displaystyle \frac{80-75}{5}})=P(-1<Z<1)$

El intervalo es simétrico respecto de la media —abarca una desviación típica a cada lado—, de modo que

$P(-1<Z<1)=2\mathrm{\Phi }(1)-1=2\cdot \mathrm{0,8413}-1$

$P(70<X<80)=\mathrm{0,6826}$



La probabilidad de que un alumno pese entre 70 y 80 kg es $\mathrm{0,6826}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Tenga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{85}}\mathbf{\text{kg.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

$P(X>85)=P(Z>{\displaystyle \frac{85-75}{5}})=P(Z>2)$

$P(Z>2)=1-\mathrm{\Phi }(2)=1-\mathrm{0,9772}=\mathrm{0,0228}$



La probabilidad de que un alumno pese más de 85 kg es $\mathrm{0,0228}$, es decir, algo más de dos de cada cien.