Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

El consumo de azúcar en un determinado país, calculado en kg (kilogramos) por persona y año, varía según una distribución normal de media 15 y desviación típica 5.

a) ¿Qué porcentaje de personas de ese país consumen menos de 10 kg de azúcar al año? [1 punto]

b) ¿Cuál es el porcentaje de personas del país cuyo consumo anual de azúcar es superior a 25 kg? [1 punto]

Llamamos $X$ al consumo anual de azúcar, en kilogramos por persona. Según el enunciado

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(15;5)$

y para consultar la tabla usaremos la variable tipificada $Z={\displaystyle \frac{X-15}{5}}\sim N(0,1)$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{pa}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{consumen}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{az}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{car}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

$P(X<10)=P(Z<{\displaystyle \frac{10-15}{5}})=P(Z<-1)$

La tabla solo recoge valores positivos, así que aprovechamos la simetría de la campana:

$P(Z<-1)=1-\mathrm{\Phi }(1)=1-\mathrm{0,8413}=\mathrm{0,1587}$



El $\mathrm{15,87}\mathrm{\%}$ de las personas consume menos de 10 kg de azúcar al año.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{pa}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{cuyo}}\mathbf{\text{consumo}}\mathbf{\text{anual}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{az}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{car}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{kg?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

$P(X>25)=P(Z>{\displaystyle \frac{25-15}{5}})=P(Z>2)$

$P(Z>2)=1-\mathrm{\Phi }(2)=1-\mathrm{0,9772}=\mathrm{0,0228}$



Solo el $\mathrm{2,28}\mathrm{\%}$ de las personas consume más de 25 kg de azúcar al año.