Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2024

Una máquina de café está regulada de modo que la cantidad de café que echa está distribuida según una normal de media 125 ml y desviación típica 20 ml. Calcule: [2 puntos]

i) El porcentaje de vasos que se llenarán con más de 150 ml.

ii) Entre qué capacidades (ml) está el 60 % de los cafés que dispensa la máquina.

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

Se llama $X$ a la cantidad de café, en mililitros, que echa la máquina. Según el enunciado

$X\sim N(125,20)$

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vasos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{llenar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{150}}\mathbf{\text{ml.}}$

Se tipifica el valor 150 restando la media y dividiendo por la desviación típica, y se pasa a la cola de la derecha, que es la que da la tabla por complementario.

$P(X>150)=P(Z>{\displaystyle \frac{150-125}{20}})=P(Z>\mathrm{1,25})$

$P(Z>\mathrm{1,25})=1-P(Z\le \mathrm{1,25})=1-\mathrm{0,8944}=\mathrm{0,1056}$



Se llenarán con más de 150 ml el $\mathrm{10,56}\mathrm{\%}$ de los vasos.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Entre}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{capacidades}}\mathbf{\text{(ml)}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{caf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{dispensa}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{quina.}}$

Se busca un intervalo centrado en la media que deje dentro el 60 % de los datos. Tipificado es simétrico respecto de cero, y las dos colas se reparten por igual el 40 % restante:

$P(-z_0<Z<z_0)=\mathrm{0,60}\Rightarrow P(Z\le z_0)=\mathrm{0,60}+\mathrm{0,20}=\mathrm{0,80}$

En la tabla de la normal tipificada el valor más próximo a 0,80 es 0,7995, que corresponde a

$z_0=\mathrm{0,84}$



Deshaciendo la tipificación:

$\mu \pm z_0\sigma =125\pm \mathrm{0,84}\cdot 20=125\pm \mathrm{16,8}$

El 60 % de los cafés tiene una capacidad comprendida entre $\mathrm{108,2}$ y $\mathrm{141,8}$ mililitros.