Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

Una variable aleatoria $X$ sigue una distribución normal de media 4 y desviación típica 2. Calcule el valor de $a$ para que [2 puntos]

$P(4-a\le X\le 4+a)=\mathrm{0,5934}$

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

El intervalo $[4-a,4+a]$ está centrado en la media, así que al tipificar queda simétrico respecto de cero:

$X\sim N(4,2)$

$P(4-a\le X\le 4+a)=P({\displaystyle \frac{-a}{2}}\le Z\le {\displaystyle \frac{a}{2}})=P(-z_0\le Z\le z_0),z_0={\displaystyle \frac{a}{2}}$

Por la simetría de la campana, la probabilidad de un intervalo central se relaciona con la acumulada de este modo:

$P(-z_0\le Z\le z_0)=2P(Z\le z_0)-1$

Se despeja la acumulada que hay que buscar en la tabla:

$2P(Z\le z_0)-1=\mathrm{0,5934}\Rightarrow P(Z\le z_0)={\displaystyle \frac{1+\mathrm{0,5934}}{2}}=\mathrm{0,7967}$

En la tabla de la normal tipificada ese valor aparece exactamente:

$z_0=\mathrm{0,83}$



Deshaciendo el cambio:

${\displaystyle \frac{a}{2}}=\mathrm{0,83}\Rightarrow a=\mathrm{1,66}$

El valor pedido es $a=\mathrm{1,66}$, es decir, el intervalo $[\mathrm{2,34};\mathrm{5,66}]$.