Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

La estancia vacacional de una familia en un hotel sigue una distribución normal, de media 15 días y desviación típica 4 días. [2 puntos]

a) Calcule la probabilidad de que la estancia de una familia sea inferior a 10 días.

b) Calcule la probabilidad de que la estancia esté comprendida entre 11 y 19 días.

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

Se llama $X$ a la duración, en días, de la estancia vacacional de una familia. Según el enunciado

$X\sim N(15,4)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{familia}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as.}}$

Se tipifica el valor 10 restando la media y dividiendo por la desviación típica:

$P(X<10)=P(Z<{\displaystyle \frac{10-15}{4}})=P(Z<-\mathrm{1,25})$

La tabla solo recoge valores positivos, así que se usa la simetría de la campana:

$P(Z<-\mathrm{1,25})=1-P(Z<\mathrm{1,25})=1-\mathrm{0,8944}=\mathrm{0,1056}$



La probabilidad de que la estancia sea inferior a 10 días es $\mathrm{0,1056}$, algo más de un 10 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estancia}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{comprendida}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{11}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{19}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as.}}$

Los dos extremos son simétricos respecto de la media y distan de ella exactamente una desviación típica:

$P(11\le X\le 19)=P({\displaystyle \frac{11-15}{4}}\le Z\le {\displaystyle \frac{19-15}{4}})=P(-1\le Z\le 1)$

La probabilidad del intervalo es la diferencia de las acumuladas en sus extremos:

$P(Z\le -1)=1-P(Z\le 1)=1-\mathrm{0,8413}=\mathrm{0,1587}$

$P(-1\le Z\le 1)=\mathrm{0,8413}-\mathrm{0,1587}=\mathrm{0,6826}$



La probabilidad de que la estancia esté comprendida entre 11 y 19 días es $\mathrm{0,6826}$.