Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2025

La velocidad máxima a la que puede circular un vehículo sobre un determinado puente del río Guadalete es de $70\text{ km/h}$.

a) En uno de los sentidos de circulación, la velocidad de los vehículos sigue una distribución normal de media $64\text{ km/h}$ y desviación típica $4\text{ km/h}$. Si el radar de control salta a partir de $72\text{ km/h}$, ¿cuál es el porcentaje de vehículos que se sancionan? [1 punto]

b) En el sentido contrario, también sigue una distribución normal de la que sabemos que la velocidad media es de $\mathrm{63,6}\text{ km/h}$ y que el $\mathrm{5,05}\mathrm{\%}$ de todos los vehículos viaja a más de $80\text{ km/h}$. En este caso, ¿cuánto vale la desviación típica? [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sentidos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{circulaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culos}}\mathbf{\text{sigue}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{normal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{media}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">64</mn><mtext> km/h</mtext></mrow>}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">4</mn><mtext> km/h</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{control}}\mathbf{\text{salta}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">72</mn><mtext> km/h</mtext></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sancionan?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Llamamos $X$ a la velocidad de un vehículo, que sigue una ley $N(64;4)$. Se sanciona a los que superan los 72 km/h, así que hay que calcular $P(X>72)$. Tipificamos ese valor.

$z={\displaystyle \frac{x-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{72-64}{4}}=2$

$P(X>72)=P(Z>2)=1-P(Z\le 2)=1-\mathrm{0,9772}=\mathrm{0,0228}$



Se sanciona al 2,28 \% de los vehículos que circulan en ese sentido.



Ahora la incógnita es $\sigma$ y el dato es una probabilidad, así que se recorre el camino inverso: primero se busca en la tabla el valor de $z$ y después se despeja.

$P(X>80)=\mathrm{0,0505}\Rightarrow P(X\le 80)=1-\mathrm{0,0505}=\mathrm{0,9495}$

$P(Z\le z)=\mathrm{0,9495}\Rightarrow z=\mathrm{1,64}$



Deshacemos la tipificación con la media conocida.

$z={\displaystyle \frac{80-\mathrm{63,6}}{\sigma }}=\mathrm{1,64}\Rightarrow \sigma ={\displaystyle \frac{\mathrm{16,4}}{\mathrm{1,64}}}=10$

La desviación típica de la velocidad en el sentido contrario es de $10\text{ km/h}$: los vehículos circulan a velocidades bastante más dispersas que en el otro sentido, donde la desviación típica era de solo 4 km/h.