Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

La duración de un cierto modelo de máquina de aire acondicionado sigue una distribución normal, con media 20 años y desviación típica 5 años. El fabricante garantiza el buen funcionamiento de la máquina por un periodo de 25 años. [2 puntos]

a) ¿Qué porcentaje de máquinas se espera que no cumplan la garantía?

b) ¿Qué proporción de máquinas tienen una duración comprendida entre los 15 y 21 años?

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

Se llama $X$ a la duración, en años, de una máquina. Según el enunciado

$X\sim N(20,5)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{quinas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{espera}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{cumplan}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{garant}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a?}}$

No cumplir la garantía es durar menos de los 25 años garantizados, así que se pide $P(X<25)$. Se tipifica:

$P(X<25)=P(Z<{\displaystyle \frac{25-20}{5}})=P(Z<1)$

La tabla da directamente esta probabilidad acumulada:

$P(Z<1)=\mathrm{0,8413}$



Se espera que un $\mathrm{84,13}\mathrm{\%}$ de las máquinas no cumpla la garantía. Es un porcentaje muy alto, y era previsible: los 25 años garantizados están por encima de la duración media.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{quinas}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{duraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{comprendida}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{21}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os?}}$

Se tipifican los dos extremos:

$P(15\le X\le 21)=P({\displaystyle \frac{15-20}{5}}\le Z\le {\displaystyle \frac{21-20}{5}})=P(-1\le Z\le \mathrm{0,2})$

La probabilidad del intervalo es la diferencia de las acumuladas, y la acumulada en $-1$ se obtiene por simetría de la campana:

$P(Z\le -1)=1-P(Z\le 1)=1-\mathrm{0,8413}=\mathrm{0,1587}$

$P(Z\le \mathrm{0,2})=\mathrm{0,5793}$

$P(-1\le Z\le \mathrm{0,2})=\mathrm{0,5793}-\mathrm{0,1587}=\mathrm{0,4206}$



Un $\mathrm{42,06}\mathrm{\%}$ de las máquinas dura entre 15 y 21 años.