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Examen de Matemáticas II de La Rioja 2021 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de La Rioja, convocatoria ordinaria de 2021. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Funciones

Sea la función

f (x) = x e^{1 / x^{3}}

. Determine el dominio y las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas cuando existan. [2 puntos]

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Ejercicio 2: Integrales y Áreas

Sea

f

una función continua cuya derivada viene dada de la siguiente manera: [2 puntos]

f^{'} (x) = {\begin{cases} x + 1, & x < 0, \\ e^{x}, & x \geq 0. \end{cases}

Halle la expresión de las funciones

f

y las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de

f

en el punto

x = 0

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Integrales y Áreas

Calcule el área del recinto limitado por la función

f (x) = \frac{x + 3}{(x + 2)^{2}}

, el eje

O X

y las rectas

x = 0

x = 5

. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Sistemas de ecuaciones

Discuta y resuelva el sistema de ecuaciones lineales [2 puntos]

{\begin{cases} x + y + a z = 1 \\ 2 x + a y = - 1 \\ a x + y + z = 1 \end{cases}

según el valor del parámetro real

a

. Determine la inversa de la matriz asociada al sistema para

a = 0

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Ejercicio 5: Matrices

Halle

A

B

, matrices soluciones del sistema de ecuaciones [2 puntos]

{\begin{cases} 3 A - 5 B = C, \\ - A + 3 B = D, \end{cases}

donde

C

D

son las matrices

C = (\begin{array}{cc} 2 & - 4 \\ 7 & 4 \\ - 1 & 2 \end{array}), D = (\begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 3 & 0 \\ - 1 & 2 \end{array})

Determine la matriz inversa de

C^{T} D

, donde

C^{T}

es la matriz traspuesta de

C

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Ejercicio 6: Matrices

Sabiendo que

∣ A ∣ = 1

, donde

A = (\begin{array}{ccc} x & y & z \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{array})

, calcule el determinante de la matriz [2 puntos]

B = (\begin{array}{ccc} x & y & z \\ x + 1 & y + 1 & z + 1 \\ 2 (x + a) & 2 (y + b) & 2 (z + c) \end{array})

Calcule también

{∣ 4 B^{- 1} A^{T} ∣}^{2}

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Rectas y Planos

Halle la ecuación de una recta tal que: [2 puntos]

a) pasa por el punto

P (0, 1, 1)

;

b) está contenida en el plano

π \equiv x + y + 3 z - 4 = 0

;

c) es perpendicular a la recta

r \equiv {\begin{cases} x = z + 3, \\ y = - z + 4. \end{cases}

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Rectas y Planos

Halle las ecuaciones de la recta que pasa por el punto

P (2, - 1, 1)

y corta perpendicularmente a la recta

r \equiv \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{2} = z

. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Distribución normal

La duración de un cierto modelo de máquina de aire acondicionado sigue una distribución normal, con media 20 años y desviación típica 5 años. El fabricante garantiza el buen funcionamiento de la máquina por un periodo de 25 años. [2 puntos]

a) ¿Qué porcentaje de máquinas se espera que no cumplan la garantía?

b) ¿Qué proporción de máquinas tienen una duración comprendida entre los 15 y 21 años?

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Probabilidad

Una bolsa contiene 4 bolas negras y 2 blancas. Otra bolsa contiene 2 bolas negras y 6 blancas. Se elige una de las bolsas al azar y se extrae una bola. [2 puntos]

a) Calcule la probabilidad de que la bola sea blanca.

b) Sabiendo que la bola es blanca, calcule la probabilidad de que sea de la primera bolsa.

Ver la solución del ejercicio 10