Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2021

Sabiendo que $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1$, donde $A=\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\\ a& b& c\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$, calcule el determinante de la matriz [2 puntos]

$B=\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\\ x+1& y+1& z+1\\ 2(x+a)& 2(y+b)& 2(z+c)\end{array}\right)$

Calcule también ${\mid 4B^{-1}{A}^T\mid }^2$.

Se llaman $F_1=(x,y,z)$, $F_2=(a,b,c)$ y $F_3=(1,1,1)$ a las filas de $A$. Las filas de $B$ se escriben con ellas:

$B=\left(\begin{array}{c}{F}_1\\ F_1+F_3\\ 2(F_1+F_2)\end{array}\right)$

El determinante es lineal en cada fila, de modo que el factor 2 de la tercera sale fuera y las sumas se reparten:

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=2\mid \begin{array}{c}{F}_1\\ F_1+F_3\\ F_1+F_2\end{array}\mid$

Desarrollando por la segunda fila y luego por la tercera se obtienen cuatro determinantes:

$\mid \begin{array}{c}{F}_1\\ F_1+F_3\\ F_1+F_2\end{array}\mid =\mid \begin{array}{c}{F}_1\\ F_1\\ F_1\end{array}\mid +\mid \begin{array}{c}{F}_1\\ F_1\\ F_2\end{array}\mid +\mid \begin{array}{c}{F}_1\\ F_3\\ F_1\end{array}\mid +\mid \begin{array}{c}{F}_1\\ F_3\\ F_2\end{array}\mid$

Los tres primeros tienen dos filas repetidas, así que valen cero. El cuarto es el de $A$ con las filas segunda y tercera intercambiadas, lo que cambia el signo:

$\mid \begin{array}{c}{F}_1\\ F_3\\ F_2\end{array}\mid =-\mid \begin{array}{c}{F}_1\\ F_2\\ F_3\end{array}\mid =-\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-1$

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=2\cdot (-1)=-2$

Para la segunda parte se usan tres propiedades: el determinante de un producto es el producto de los determinantes, el de la inversa es el inverso, y al multiplicar una matriz de orden 3 por un número el determinante queda multiplicado por el cubo de ese número.

$\mid 4B^{-1}{A}^T\mid =4^3\cdot \mid B^{-1}\mid \cdot \mid A^T\mid =64\cdot {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }}}\cdot \mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$

$=64\cdot {\displaystyle \frac{1}{-2}}\cdot 1=-32$

${\mid 4B^{-1}{A}^T\mid }^2=(-32{)}^2=1024$