Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2020

Sean $A=\left(\begin{array}{cc}-13& 5\\ 10& -5\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -4& 2\end{array}\right)$. [2 puntos]

a) Halle $X$ e $Y$, matrices soluciones del sistema de ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}3X-5Y=A,\\ -X+2Y=B\mathrm{.}\end{array}$

b) Calcule, si existen, las matrices inversas de $X$ e $Y$.

El sistema es lineal en las incógnitas matriciales, así que se resuelve por reducción como uno numérico. Multiplicando la segunda ecuación por 3 y sumándola a la primera desaparece $X$:

$3X-5Y=A$

$-3X+6Y=3B$

$Y=A+3B$

$Y=\left(\begin{array}{cc}-13& 5\\ 10& -5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}15& -6\\ -12& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -2& 1\end{array}\right)$

De la segunda ecuación se despeja $X=2Y-B$:

$X=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -4& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -4& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

Se comprueba en la primera ecuación:

$3X-5Y=\left(\begin{array}{cc}-3& 0\\ 0& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}10& -5\\ -10& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-13& 5\\ 10& -5\end{array}\right)=A$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen,}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{matrices}}\mathbf{\text{inversas}}\mathbf{\text{de}}\mathit{X}\mathbf{\text{e}}\mathit{Y}\mathbf{\text{.}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que basta calcularlos.

$\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 0\end{array}\mid =(-1)\cdot 0-0\cdot 0=0$

$\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}2& -1\\ -2& 1\end{array}\mid =2\cdot 1-(-1)(-2)=2-2=0$

Los dos determinantes se anulan, de modo que ni $X$ ni $Y$ tienen inversa.

Se ve también sin calcular nada: $X$ tiene una fila entera de ceros, e $Y$ tiene la segunda fila igual a la primera cambiada de signo. En ambos casos las filas son linealmente dependientes y el rango es menor que 2.