Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2020

Calcule el siguiente determinante: [2 puntos]

$\mid \begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ x& y& z& t\\ x^2& y^2& z^2& t^2\\ x^3& y^3& z^3& t^3\end{array}\mid$

Es un determinante de Vandermonde: cada columna está formada por las potencias sucesivas de un mismo número. Se calcula haciendo ceros en la primera fila, para lo cual se resta a cada fila la anterior multiplicada por $x$, empezando por abajo para no estropear los cálculos.

$F_4\to F_4-x{F}_3,F_3\to F_3-x{F}_2,F_2\to F_2-x{F}_1$

Estas operaciones no alteran el valor del determinante, porque a cada fila se le suma otra multiplicada por un número:

$\mid \begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& y-x& z-x& t-x\\ 0& y(y-x)& z(z-x)& t(t-x)\\ 0& y^2(y-x)& z^2(z-x)& t^2(t-x)\end{array}\mid$

Desarrollando por la primera columna queda un determinante de orden 3, y de cada columna sale un factor común:

$=(y-x)(z-x)(t-x)\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ y& z& t\\ y^2& z^2& t^2\end{array}\mid$

El determinante que queda es de nuevo de Vandermonde, ahora de orden 3. Se repite el procedimiento restando a cada fila la anterior multiplicada por $y$:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& z-y& t-y\\ 0& z(z-y)& t(t-y)\end{array}\mid =(z-y)(t-y)\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ z& t\end{array}\mid =(z-y)(t-y)(t-z)$

Juntando los dos pasos:

$\mid \begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ x& y& z& t\\ x^2& y^2& z^2& t^2\\ x^3& y^3& z^3& t^3\end{array}\mid =(y-x)(z-x)(t-x)(z-y)(t-y)(t-z)$

Es decir, el producto de todas las diferencias entre los cuatro números, tomadas siempre restando el que aparece antes al que aparece después. De aquí se sigue que el determinante es nulo si y solo si dos de los cuatro coinciden.