Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2026

Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -1& -1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& -2& 0\\ -1& 1& 0& 1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& -2\\ 1& 1& -2& 0\end{array}\right)$.

a) Determine si la matriz $A$ es invertible. En caso afirmativo calcule $A^{-1}$. [0,75 puntos]

b) Resuelva la ecuación $AX+B-C=0$. [1,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{invertible.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es nulo:

$\det (A)=\mid \begin{array}{cc}3& 2\\ -1& -1\end{array}\mid =3\cdot (-1)-2\cdot (-1)=-3+2=-1\mathrm{\ne }0$

luego $A$ sí es invertible. Para una matriz $2\times 2$ la inversa se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo por el determinante:

$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 1& 3\end{array}\right)=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 1& 3\end{array}\right)$

$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& -3\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado:

$A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Resuelva}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{AX}}\mathbf{\text{+}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{-}}\mathbf{\text{C}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{0.}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se despeja $X$ operando con matrices, y con cuidado: como el producto de matrices no es conmutativo, hay que multiplicar por $A^{-1}$ por la izquierda en los dos miembros.

$AX+B-C=0\Rightarrow AX=C-B\Rightarrow A^{-1}AX=A^{-1}(C-B)\Rightarrow X=A^{-1}(C-B)$

Antes de nada, el tamaño: $A$ es $2\times 2$ y $B$ y $C$ son $2\times 4$, de modo que $X$ ha de ser $2\times 4$ para que todas las operaciones tengan sentido.

$C-B=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& -2\\ 1& 1& -2& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cccc}0& 1& -2& 0\\ -1& 1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 3& -2\\ 2& 0& -2& -1\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 3& -2\\ 2& 0& -2& -1\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cccc}5& -2& -1& -4\\ -7& 2& 3& 5\end{array}\right)$

Comprobación, que conviene hacer siempre en estos ejercicios:

$AX=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}5& -2& -1& -4\\ -7& 2& 3& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 3& -2\\ 2& 0& -2& -1\end{array}\right)=C-B$