Examen de Matemáticas II de Asturias 2026 (convocatoria extraordinaria)

Una empresa de logística transporta mercancía utilizando camiones pequeños, medianos y grandes. Para el transporte de toda la mercancía se utilizan un total de 10 camiones. Cada camión pequeño transporta 1 tonelada de mercancía, cada mediano 2 toneladas y cada grande 3 toneladas. La carga total que ha de transportarse es de $(m+9)$ toneladas, con $m\in \mathbb{R}$. El transporte de la mercancía tiene un coste asociado de dos unidades por cada camión pequeño, de 3 unidades por cada camión mediano y de $7-m$ unidades por cada camión grande. El coste total del transporte es de 22 unidades.

a) Plantee el sistema de ecuaciones lineales que modeliza la situación. [0,75 puntos]

b) Determine un valor de $m$ para el que el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo. [1 punto]

c) Resuelva el sistema para $m=1$. ¿Tiene sentido esta solución para el problema dado? [0,75 puntos]

Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -1& -1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& -2& 0\\ -1& 1& 0& 1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& -2\\ 1& 1& -2& 0\end{array}\right)$.

a) Determine si la matriz $A$ es invertible. En caso afirmativo calcule $A^{-1}$. [0,75 puntos]

b) Resuelva la ecuación $AX+B-C=0$. [1,75 puntos]

Un parque acuático está diseñando un nuevo tobogán curvo que debe ser a la vez rápido y seguro. Para ello, se ha modelado la altura del tobogán sobre el suelo mediante la función $h(x)=12-\mathrm{0,4}{x}^2+\mathrm{0,03}{x}^3$, donde $x$ es la distancia horizontal en metros desde el inicio del tobogán y $h(x)$ es la altura sobre el suelo en metros. Se necesita estudiar cómo cambiar la inclinación y la forma del tobogán para asegurarse de que no haya tramos peligrosamente verticales ni zonas demasiado planas.

a) Calcule la derivada $h^{\mathrm{\prime }}(x)$ e interprete el significado de $h^{\mathrm{\prime }}(x)$ dentro del contexto del diseño del tobogán. [0,75 puntos]

b) Se considera potencialmente peligroso todo punto donde la pendiente sea menor que $-2$ (demasiada inclinación descendente). Calcule, en caso de existir, los puntos en los que $h^{\mathrm{\prime }}(x)=-2$. [0,75 puntos]

c) Determine los valores de $x$ en los que la función $h(x)$ alcanza un mínimo local. [1 punto]

Dadas las siguientes funciones:



a) Dado $p(x)=x^2+x^3$, identifique razonadamente, sin evaluar $p$, qué función lo representa. [1 punto]

b) Indique razonadamente cuál es el valor del límite ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{h(x)}{f(x)}}$. [1,5 puntos]

Una tenista profesional quiere analizar la calidad de su saque. Para ello, los entrenadores han colocado sensores que miden la velocidad instantánea de la pelota desde que abandona la raqueta. En el momento en que la pelota sale de la raqueta, su velocidad inicial es de $v_0=54\text{ m}\mathrm{/}\text{s}$ y la desaceleración media registrada durante su trayectoria es de $a=-22\text{ m}\mathrm{/}{\text{s}}^2$. Para estudiar el desplazamiento de la pelota, se empleará la función velocidad $v(t)=v_0+at$. La distancia recorrida desde el instante del golpe se obtiene integrando esta función. Téngase en cuenta que la longitud máxima disponible para que la pelota bote en campo contrario durante un saque reglamentario es de $\mathrm{20,06}\text{ m}$.

a) Utilice una integral definida para calcular la distancia que recorre la pelota durante el primer segundo del vuelo. [1,25 puntos]

b) Plantee y resuelva la ecuación necesaria para determinar cuánto tiempo tarda la pelota en recorrer $\mathrm{20,06}\text{ m}$. [1,25 puntos]

Dadas las funciones $f(x)={\displaystyle \frac{x-1}{2x+1}}$, $g(x)=x^2$ y $h(x)=x^3$:

a) Calcule todas las primitivas de la función $f(x)$. ¿Cuál de todas ellas pasa por el origen de coordenadas? [1,5 puntos]

b) Calcule el área encerrada entre las gráficas de $g(x)$ y $h(x)$ entre sus puntos de corte. [1 punto]

Dado el plano $\pi \equiv 2x+2y+z=5$:

a) Encuentre la ecuación de un plano paralelo a $\pi$ cuya distancia al origen sea 2. ¿Existe más de un plano que cumpla estas condiciones? [0,75 puntos]

b) Calcule el punto $P$ del plano $\pi$ que está más próximo al origen $O$. [1 punto]

c) Calcule el área del paralelogramo formado por los segmentos $OP$ y $OQ$, donde $Q(3,3,3)$. [0,75 puntos]

Para estudiar la cobertura de comunicaciones en una zona montañosa se utilizan tres antenas situadas en los puntos $A(1,2,1)$, $B(3,0,2)$ y $C(2,3,3)$, que determinan el plano del terreno en dicha zona. Un dron de mantenimiento se desplaza siguiendo la trayectoria rectilínea $r:(x,y,z)=(0,1,4)+t(1,1,-1)$, con $t\in \mathbb{R}$.

a) Calcule la ecuación del plano que pasa por los puntos $A$, $B$ y $C$. [1 punto]

b) Estudie la posición relativa de la trayectoria del dron respecto del plano determinado por las tres antenas. En caso de que se corten, calcule el punto de corte. [0,75 puntos]

c) Calcule la distancia mínima entre la trayectoria del dron y el punto $A$. [0,75 puntos]

Una jugadora de tenis de mesa comienza los partidos restando en el 75 % de las ocasiones. Cuando comienza restando, la jugadora vence el 80 % de los partidos. Sin embargo, cuando comienza sacando, ese porcentaje se reduce hasta el 65 % de victorias.

a) Calcule la probabilidad de que la jugadora gane un partido si no sabemos si ha comenzado restando o no. [1,25 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que la jugadora haya empezado restando en un partido sabiendo que ha ganado. [1,25 puntos]

Los niveles de ácido úrico en sangre de una población de hombres adultos siguen una distribución normal de media $\mathrm{5,5}\text{ mg}\mathrm{/}\text{dl}$ y desviación típica $\mathrm{0,9}\text{ mg}\mathrm{/}\text{dl}$.

a) Calcule la probabilidad de que un hombre adulto de la población tenga unos niveles de ácido úrico entre $\mathrm{4,3}\text{ mg}\mathrm{/}\text{dl}$ y $\mathrm{6,1}\text{ mg}\mathrm{/}\text{dl}$. [1,25 puntos]

b) Calcule el nivel de ácido úrico en sangre que solo superan el 1,5 % de los hombres adultos de la población. [1,25 puntos]

Algunos valores de la función de distribución $N(0,1)$, con $F(x)=P(Z\le x)$, son: $F(0)=\mathrm{0,5}$; $F(\mathrm{0,015})=\mathrm{0,5060}$; $F(\mathrm{0,8413})=\mathrm{0,7999}$; $F(\mathrm{0,985})=\mathrm{0,8377}$; $F(1)=\mathrm{0,8413}$; $F(\mathrm{2,17})=\mathrm{0,985}$. Si los valores obtenidos no están entre los expuestos debe tomarse el más cercano.