Examen de Matemáticas II de Asturias 2021 (convocatoria ordinaria)

Un operador turístico vende a las agencias locales viajes concertados al Caribe, Islas Maldivas y Tailandia. A una primera agencia $A$ le vende 10 viajes al Caribe, 10 a las Maldivas y 10 a Tailandia, cobrando por todo ello 12.000 euros. A una segunda agencia $B$ le vende 10 viajes al Caribe y 20 a Tailandia, cobrando por todo ello 13.000 euros. Y a una tercera agencia $C$ le vende 10 viajes al Caribe y 10 a las Maldivas, cobrando por todo ello 7.000 euros. Se pide:

a) Plantee un sistema de ecuaciones que permita calcular el precio del viaje a cada uno de los destinos y calcule, si es posible, dicho precio. [1,5 puntos]

b) Si le obligasen a rebajar un 20 % el precio del viaje al Caribe dejando los otros iguales, ¿cuánto dinero perdería? [0,5 puntos]

c) ¿Cuál sería el precio del viaje a las Islas Maldivas necesario para compensar la bajada del 20 % del viaje al Caribe y así recaudar el mismo dinero? Se mantiene el precio del viaje a Tailandia. [0,5 puntos]

Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& -1\\ -1& 0& 0\\ 0& 1& a\end{array}\right)$, con $a\in \mathbb{R}$, y $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$.

a) Escriba el sistema de ecuaciones $AX=X$ en la forma $BX=0$. [0,5 puntos]

b) Estudie para qué valores de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones. [1 punto]

c) Para $a=0$ calcule, si existe, la inversa de $A$. [1 punto]

Sean las parábolas $y_1=x^2-2x+3$ e $y_2=a{x}^2+b$.

a) Calcule los valores de $a$ y $b$ para que en el punto de abscisa $x=2$ las dos parábolas tengan la misma recta tangente. Calcule dicha recta tangente. [1 punto]

b) Para $a=1$, $b=1$, esboce el recinto limitado por las parábolas entre el eje Y y el punto de corte entre ellas. Calcule el área del mismo. [1,5 puntos]

Sean tres números reales positivos cuya suma es 90 y uno de ellos es la media de los otros dos. Determine los números de forma que el producto entre ellos sea máximo. [2,5 puntos]

Dadas las rectas $r:{\displaystyle \frac{x+1}{3}}={\displaystyle \frac{y-1}{-2}}=z$ y $s:\{\begin{array}{l}x+2y=-1\\ z=1\end{array}$.

a) Compruebe que las rectas se cruzan. [0,75 puntos]

b) Obtenga el plano $\pi$ que contiene a $s$ y es paralelo a la recta $r$. Halle la distancia entre el punto $P=(-1,1,0)$ de la recta $r$ y el plano $\pi$. [1,25 puntos]

c) Calcule la distancia entre las rectas. [0,5 puntos]

Dados los puntos $A(1,1,0)$ y $B(0,0,2)$ y la recta $r:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1+\lambda \\ z=1+\lambda \end{array}$. Halle:

a) Un punto $C\in r$ de forma que el triángulo $ABC$ sea rectángulo con el ángulo recto en $B$. [1,25 puntos]

b) El plano $\pi$ que pasa por $A$ y $B$ y es paralelo a $r$. [1,25 puntos]

En un edificio hay dos ascensores. Cada vecino, cuando utiliza el ascensor, lo hace en el primero el 60 % de las veces y en el segundo el 40 %. El porcentaje de fallos del primer ascensor es del 3 % y del segundo es del 8 %.

a) Un vecino usa un ascensor. ¿Cuál es la probabilidad de que el ascensor falle? [1,25 puntos]

b) Otro día, un vecino coge un ascensor y le falla. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido el segundo? [1,25 puntos]

Se tiene un suceso con variable aleatoria $X$ que sigue una distribución normal de media $\mu =10$ y desviación típica $\sigma =2$. Calcule:

a) La probabilidad de que $X\in [6,10]$. [1,5 puntos]

b) Se hace una revisión de los datos y se observa que la media coincide pero la probabilidad del 80 % se alcanza en el valor $X\le 12$. ¿Cuál es la nueva desviación típica? [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(x)=P(Z\le x)$, $F(0)=\mathrm{0,5}$, $F(\mathrm{0,8416})=\mathrm{0,8}$, $F(1)=\mathrm{0,8413}$, $F(\mathrm{1,25})=\mathrm{0,8944}$, $F(\mathrm{1,375})=\mathrm{0,9154}$, $F(\mathrm{1,5})=\mathrm{0,9332}$, $F(2)=\mathrm{0,9772}$.