Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2021

Sean tres números reales positivos cuya suma es 90 y uno de ellos es la media de los otros dos. Determine los números de forma que el producto entre ellos sea máximo. [2,5 puntos]

$\mathbf{\text{Sean}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{meros}}\mathbf{\text{reales}}\mathbf{\text{positivos}}\mathbf{\text{cuya}}\mathbf{\text{suma}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellos}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{otros}}\mathbf{\text{dos.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{meros}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{ellos}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{[2,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$, $y$ y $z$ a los tres números, con $z$ el que es la media de los otros dos. Las dos condiciones del enunciado se escriben así:

$x+y+z=90,z={\displaystyle \frac{x+y}{2}}$

La segunda condición permite despejar $z$ de inmediato, porque al sustituirla en la primera queda una sola incógnita:

$x+y=2z\Rightarrow 2z+z=90\Rightarrow 3z=90\Rightarrow z=30$

$x+y=60\Rightarrow y=60-x,0<x<60$

El producto que hay que hacer máximo depende ahora de una sola variable:

$P(x)=xyz=30x(60-x)=1800x-30x^2$

Buscamos sus extremos relativos igualando la derivada a cero.

$P^{\mathrm{\prime }}(x)=1800-60x$

$P^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 60x=1800\Rightarrow x=30$

Comprobamos que se trata de un máximo con la segunda derivada.

$P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-60<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo}$

Al ser el único extremo del intervalo, ese máximo relativo es el absoluto. Los otros dos números salen de las relaciones anteriores:

$y=60-30=30,z=30$

$P=30\cdot 30\cdot 30=27000$

Los tres números son 30, 30 y 30, y el producto máximo vale 27 000. Se descartan los extremos $x=0$ y $x=60$ porque el enunciado exige que los tres números sean positivos, y en ellos el producto se anularía.