Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2025

Un ciclista de montaña quiere ir de un punto $A$, localizado en el monte a 8 km de una pista recta, a un punto $C$ ubicado al final de la misma. Sabiendo que por la pista circulará a 20 km/h y fuera de ella a 12 km/h, calcule a qué distancia de $B$ debe unirse a la pista para llegar a $C$ en el menor tiempo posible. [2,5 puntos]

Llamamos $x$ a la distancia $\overline{BP}$ a la que el ciclista se une a la pista, con $0\le x\le 15$.



El triángulo $ABP$ es rectángulo en $B$, así que por el teorema de Pitágoras el tramo por el monte mide $\sqrt{64+x^2}$, y el que queda de pista, $15-x$. Como el tiempo es el espacio dividido por la velocidad, la función a minimizar es

$T(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{64+x^2}}{12}}+{\displaystyle \frac{15-x}{20}}$

$T^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x}{2\cdot 12\sqrt{64+x^2}}}-{\displaystyle \frac{1}{20}}={\displaystyle \frac{x}{12\sqrt{64+x^2}}}-{\displaystyle \frac{1}{20}}$

$T^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 20x=12\sqrt{64+x^2}\Rightarrow 5x=3\sqrt{64+x^2}$

Elevando al cuadrado los dos miembros, que son positivos:

$25x^2=9(64+x^2)\Rightarrow 16x^2=576\Rightarrow x^2=36\Rightarrow x=\pm 6$

Se descarta $x=-6$ por estar fuera del intervalo $[0,15]$.

Comprobamos con la derivada segunda que es un mínimo:

$T^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{64}{12{(64+x^2)}^{3\mathrm{/}2}}}>0\mathrm{\forall }x$

Al ser positiva en todo el dominio, $T$ es convexa y el único punto crítico es un mínimo absoluto. Los extremos del intervalo dan tiempos mayores, lo que lo confirma:

$T(6)={\displaystyle \frac{10}{12}}+{\displaystyle \frac{9}{20}}={\displaystyle \frac{77}{60}}\approx \mathrm{1,2833}\text{ h}T(0)=T(15)={\displaystyle \frac{17}{12}}\approx \mathrm{1,4167}\text{ h}$

El ciclista debe unirse a la pista a 6 km de $B$; así tarda $\frac{77}{60}$ horas, es decir, 1 hora y 17 minutos.