Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2024

Un nadador se encuentra a 2 km de la playa, enfrente del puesto de la Cruz Roja. Desea ir a la caseta de las duchas, que está en la misma playa a 3 km de distancia del puesto de la Cruz Roja. Sabiendo que nada a 3 km/h y anda por la arena a 5 km/h, determine a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a las duchas en el menor tiempo posible. [2 puntos]

$\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{nadador}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{km}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{playa,}}\mathbf{\text{enfrente}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{puesto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Cruz}}\mathbf{\text{Roja.}}\mathbf{\text{Desea}}\mathbf{\text{ir}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{caseta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{duchas,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{playa}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{km}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{puesto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Cruz}}\mathbf{\text{Roja.}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{nada}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{km/h}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{anda}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{arena}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{km/h,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lugar}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{dirigirse}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{nado}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{llegar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{duchas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{posible.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se sitúa la orilla sobre el eje de abscisas, el puesto de la Cruz Roja en el origen $C$ y las duchas en $D(3,0)$; el nadador está en $N(0,2)$. Llamamos $x$ a la distancia, medida sobre la playa desde el puesto hacia las duchas, del punto en el que sale del agua, con $0\le x\le 3$.



El tramo a nado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 2 y $x$, y el tramo andando es lo que queda de playa:

$\text{nadando}=\sqrt{x^2+4}\text{ km},\text{andando}=3-x\text{ km}$

Como el tiempo es el espacio dividido por la velocidad, la función que hay que minimizar es

$T(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{x^2+4}}{3}}+{\displaystyle \frac{3-x}{5}},0\le x\le 3$

Se deriva y se iguala a cero:

$T^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x}{3\sqrt{x^2+4}}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}$

${\displaystyle \frac{x}{3\sqrt{x^2+4}}}={\displaystyle \frac{1}{5}}\Rightarrow 5x=3\sqrt{x^2+4}$

Elevando al cuadrado los dos miembros, lo que exige $x\ge 0$:

$25x^2=9(x^2+4)\Rightarrow 16x^2=36\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{9}{4}}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Se descarta la raíz negativa porque $x$ es una distancia. Como el intervalo es cerrado, se comparan los valores en el punto crítico y en los extremos:

$T(0)={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{19}{15}}\approx \mathrm{1,267}$

$T\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{5\mathrm{/}2}{3}}+{\displaystyle \frac{3\mathrm{/}2}{5}}={\displaystyle \frac{5}{6}}+{\displaystyle \frac{3}{10}}={\displaystyle \frac{17}{15}}\approx \mathrm{1,133}$

$T(3)={\displaystyle \frac{\sqrt{13}}{3}}\approx \mathrm{1,202}$

El menor de los tres es el del punto crítico, luego el mínimo absoluto se alcanza en $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$.

El nadador debe dirigirse a nado al punto de la playa situado a $\mathrm{1,5}$ km del puesto de la Cruz Roja, en dirección a las duchas. Tarda entonces ${\displaystyle \frac{17}{15}}$ horas, es decir, 1 hora y 8 minutos.