Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2.5 puntos)

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.2 Un arquitecto está diseñando un pequeño invernadero para un jardín. El suelo del invernadero tiene forma de triángulo para maximizar la eficiencia y la captación de luz. El perímetro total del invernadero está fijado en 60 metros para cumplir con las restricciones medioambientales de la zona, uno de los lados del triángulo mide $x$ metros y los otros dos lados tienen la misma longitud. Se pide:

4.2.1 Deducir la expresión de la función $A(x)$ que representa el área del suelo del invernadero. (1 punto)
4.2.2 El arquitecto define una función de eficiencia estructural, $f(x)$, que se calcula como el cuadrado del área del suelo del invernadero. Obtener el valor de $x$ para el que la eficiencia estructural es máxima y hallar el área en este caso. (1.5 puntos)

El suelo es un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide $x$ metros. Como el perímetro es de 60 metros, cada uno de los dos lados iguales mide:

$\mathrm{\ell }={\displaystyle \frac{60-x}{2}}$





La altura sobre ese lado desigual lo corta por la mitad, así que la obtenemos con el teorema de Pitágoras en uno de los dos triángulos rectángulos en que queda dividido el isósceles:

$h=\sqrt{{\mathrm{\ell }}^2-{\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}^2}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{60-x}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3600-120x}$

El área del triángulo es la mitad del producto de la base por la altura:

$A(x)={\displaystyle \frac{xh}{2}}={\displaystyle \frac{x}{4}}\sqrt{3600-120x}$

Para que el triángulo exista los tres lados han de ser positivos y ha de cumplirse la desigualdad triangular, $x<2\mathrm{\ell }$, lo que restringe el dominio a:

$0<x<30$

$\mathbf{\text{4.2.2}}\mathbf{\text{Obtener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{x}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{eficiencia}}\mathbf{\text{estructural}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{hallar}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{caso.}}\mathbf{\text{(1.5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La eficiencia estructural es el cuadrado del área, y trabajar con ella evita tener que derivar la raíz:

$f(x)=A(x{)}^2={\displaystyle \frac{x^2(3600-120x)}{16}}=225x^2-{\displaystyle \frac{15}{2}}{x}^3,0<x<30$

Derivamos e igualamos a cero:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=450x-{\displaystyle \frac{45}{2}}{x}^2={\displaystyle \frac{45}{2}}x(20-x)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=20\end{array}$

Se descarta $x=0$ por no pertenecer al dominio. Estudiando el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ dentro de $(0,30)$ se ve que es positiva en $(0,20)$ y negativa en $(20,30)$, de modo que $f$ crece y después decrece: en $x=20$ hay un máximo.

Como el área es positiva, donde es máximo su cuadrado también lo es ella, así que el área máxima se alcanza para $x=20$ metros:

$A(20)={\displaystyle \frac{20}{4}}\sqrt{3600-120\cdot 20}=5\sqrt{1200}=100\sqrt{3}{\text{m}}^2\approx \mathrm{173,21}{\text{m}}^2$

Los otros dos lados miden ${\displaystyle \frac{60-20}{2}}=20$ metros: el invernadero de mayor superficie es el de suelo triangular equilátero de 20 metros de lado.