Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2025

Cuestión 2A.

Considere un triángulo rectángulo de catetos $x$ e $y$ cuya hipotenusa mide $7\sqrt{2}$ cm.

a) [0,5] Demuestre que su área viene dada por la expresión $f(x)=\frac{1}{2}x\sqrt{98-x^2}$.
b) [2] Calcule las dimensiones que debe tener dicho triángulo para que su área sea la mayor posible. ¿Cuál es el valor de dicha área máxima?

Los dos catetos no son independientes: el teorema de Pitágoras los liga a la hipotenusa, que es dato.



$x^2+y^2={\left(7\sqrt{2}\right)}^2=98$

Despejamos el cateto $y$, que por ser una longitud se toma con signo positivo:

$y=\sqrt{98-x^2}$

El área de un triángulo rectángulo es el semiproducto de sus catetos, así que sustituyendo obtenemos el área en función de una sola variable:

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}xy={\displaystyle \frac{1}{2}}x\sqrt{98-x^2}$

que es la expresión que se pedía demostrar.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[2]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dimensiones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{posible.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima?}}$

Maximizamos $f$ en su dominio, $x\in (0,\sqrt{98})$, que es donde el radicando es positivo y $x$ es una longitud. Derivamos aplicando la regla del producto y la de la cadena.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{98-x^2}+{\displaystyle \frac{1}{2}}x\cdot {\displaystyle \frac{-2x}{2\sqrt{98-x^2}}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(98-x^2)-x^2}{2\sqrt{98-x^2}}}={\displaystyle \frac{49-x^2}{\sqrt{98-x^2}}}$

El denominador no se anula dentro del dominio, así que basta con igualar a cero el numerador:

$49-x^2=0\Rightarrow x=\pm 7$

Se descarta la solución negativa por no ser una longitud. Hacemos un estudio de signos alrededor del único punto crítico:

$\begin{array}{ccc}& (0,7)& (7,\sqrt{98})\\ 49-x^2& +& -\\ f(x)& \nearrow & \searrow \end{array}$

La función crece antes de $x=7$ y decrece después, luego ahí alcanza su máximo absoluto. Calculamos el otro cateto y el área:

$y=\sqrt{98-49}=\sqrt{49}=7\text{ cm}$

$f(7)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 7\cdot 7={\displaystyle \frac{49}{2}}=\mathrm{24,5}{\text{cm}}^2$

El triángulo de área máxima es el isósceles de catetos $x=y=7$ cm, y su área vale $\mathrm{24,5}$ centímetros cuadrados.