Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2022

Problema 6.
Se desea construir un cuadrado y un triángulo equilátero cortando en dos partes un cable de acero de 240 m de longitud.
a) Calcular la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado en función del valor $x$ que corresponde con los metros que mide un lado del triángulo. (3 puntos)
b) Calcular la longitud de cable necesaria para construir el triángulo de modo que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado sea mínima y calcular el área mínima. (7 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{6.}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{desea}}\mathbf{\text{construir}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cuadrado}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{equil}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tero}}\mathbf{\text{cortando}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{partes}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cable}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{acero}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">240</mn>}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{longitud.}}$
$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{suma}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{reas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cuadrado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{valor}}\mathit{x}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{corresponde}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{mide}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{lado}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$
Se divide un alambre de longitud $240$ m en dos partes.

Con una de ellas se construye un triángulo equilátero de lado $x$ (la longitud de esta parte será $3x$) y con la otra, de longitud $240-3x$, se construye un cuadrado de lado ${\displaystyle \frac{240-3x}{4}}$.


Aplicando el teorema de Pitágoras:

$x^2={\left(\frac{x}{2}\right)}^2+h^2\Rightarrow x^2=\frac{x^2}{4}+h^2$

$h^2=x^2-\frac{x^2}{4}$

$h^2=\frac{4x^2-x^2}{4}=\frac{3x^2}{4}\Rightarrow h=\frac{x\sqrt{3}}{2}(\text{como }h>0)$

Luego, $A_t={\displaystyle \frac{x\cdot \frac{x\sqrt{3}}{2}}{2}}=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}$

Área del cuadrado,

$A_c={\left(\frac{240-3x}{4}\right)}^2=\frac{(240-3x{)}^2}{16}$

La parte del cable usada para construir el cuadrado mide $240-3x$ que debe ser positivo, luego $240-3x>0\Rightarrow 240>3x\Rightarrow 3x<240\Rightarrow x<80$ Luego $x\in (0,80)$.

Finalmente, la suma de las áreas en función de la longitud del lado del triángulo, $x$, es $S(x)=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}+\frac{(240-3x{)}^2}{16},0<x<80,x\text{ en metros}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cable}}\mathbf{\text{necesaria}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{construir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{modo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{suma}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{reas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cuadrado}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima.}}\mathbf{\text{(7}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$S^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{16}\cdot 2(240-3x)\cdot (-3)$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{3}{8}(240-3x)$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}x-90+\frac{9}{8}x=\frac{4\sqrt{3},x+9x-90\cdot 8}{8}$

$S^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(4\sqrt{3}+9)x-720}{8}$

$S^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow (4\sqrt{3}+9)x=720\Rightarrow x=\frac{720}{4\sqrt{3}+9}\approx {45}^{\mathrm{\prime }}2028\in (0,80)$

En $x={45}^{\mathrm{\prime }}2028$ hay un mínimo local y como $f(x)$ a la izquierda es decreciente y a la derecha creciente, este mínimo local es absoluto.

La función $S(x)$ alcanza su mínimo para

$x={\displaystyle \frac{720}{4\sqrt{3}+9}}\approx {45}^{\mathrm{\prime }}2028\text{ m}$

Por tanto, para que la suma de las áreas del triángulo y el cuadrado sea mínima el lado del triángulo debe ser de${\displaystyle \frac{720}{4\sqrt{3}+9}}\text{ m}$y la longitud del cable para construir el triángulo será de $3\cdot {\displaystyle \frac{720}{4\sqrt{3}+9}}\text{ m}={135}^{\mathrm{\prime }}6085\text{ m}$.

El área mínima será:

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(\frac{720}{4\sqrt{3}+9}\right)}^2+\frac{{(240-3\cdot \frac{720}{4\sqrt{3}+9})}^2}{4}\approx 1565,8710{\text{m}}^2$