Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2024

Problema 6.





Se construye una caja de cartón sin tapa a partir de una hoja rectangular de 16 cm por 10 cm. Esto se hace recortando un cuadrado de longitud $x$ en cada esquina, doblando la hoja y levantando los cuatro laterales de la caja. Calcular:

a) Las dimensiones de la caja para que tenga el mayor volumen posible. (8 puntos)
b) Dicho volumen. (2 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{dimensiones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{volumen}}\mathbf{\text{posible.}}\mathbf{\text{(8}}\mathbf{\text{puntos)}}$



$\text{Volumen de la caja:}$

$V(x)=(10-2x)(16-2x)x,0<x<5$

$V(x)=4x^3-52x^2+160x,0<x<5$

$V^{\mathrm{\prime }}(x)=12x^2-104x+160$

$V^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 12x^2-104x+160=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=2\\ x=\frac{20}{3}\end{array},0<x<5\Rightarrow x=2\text{ cm}$










El volumen será máximo cuando tengamos $x=2cm$ y consecuentemente las dimensiones pedidas son:





$\text{Ancho }=10-2x=6\text{cm}$

$\text{Largo }=16-2x=12\text{cm}$

$\text{Alto }=x=2\text{cm}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dicho}}\mathbf{\text{volumen.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$\text{Volumen m}\acute{\text{a}}\text{ximo: }V(2)=6\cdot 12\cdot 2=144{\text{cm}}^3$