Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2023

A.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Un equipo de ingenieros realiza pruebas de consumo de un nuevo vehículo híbrido. El gasto en litros de combustible por cada 100 kilómetros en función de la velocidad, medida en decenas de kilómetros por hora, es

$c(v)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{5v}{3}}& \text{si }0\le v<3\\ 14-4v+{\displaystyle \frac{v^2}{3}}& \text{si }v\ge 3\end{array}$.

a) (1 punto) Si en una primera prueba el vehículo tiene que circular a más de 3 decenas de kilómetros por hora, ¿a qué velocidad debe ir el vehículo para obtener un consumo mínimo?
b) (1.5 puntos) Si en otra prueba el vehículo debe circular a una velocidad $v$ tal que $1\le v\le 8$, ¿cuáles serán el máximo y el mínimo consumo posibles del vehículo?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{prueba}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culo}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{decenas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{kil}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{hora,}}\mathbf{\text{¿a}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{ir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{consumo}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo?}}$

Como $v>3$, trabajamos solo con el segundo trozo, que es derivable en todo ese intervalo.

$c(v)=14-4v+{\displaystyle \frac{v^2}{3}}\Rightarrow c^{\mathrm{\prime }}(v)=-4+{\displaystyle \frac{2v}{3}}$

$c^{\mathrm{\prime }}(v)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{2v}{3}}=4\Rightarrow v=6$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un mínimo.

$c^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(v)={\displaystyle \frac{2}{3}}>0$

$c(6)=14-24+12=2$

El consumo mínimo se obtiene a 6 decenas de kilómetros por hora, es decir, a 60 km/h, y vale 2 litros por cada 100 km.



La función es continua en el intervalo cerrado $[1,8]$ —los dos trozos empalman en $v=3$, donde ambos valen 5— así que por el teorema de Weierstrass alcanza máximo y mínimo absolutos. Los candidatos son los extremos del intervalo, el punto crítico y el punto de empalme, donde la función no es derivable.

$c(1)={\displaystyle \frac{5}{3}};c(3)=14-12+3=5$

$c(6)=2;c(8)=14-32+{\displaystyle \frac{64}{3}}={\displaystyle \frac{10}{3}}$



Comparando los cuatro valores, el menor es $\frac{5}{3}$ y el mayor 5.

El consumo mínimo posible es de $\frac{5}{3}\approx \mathrm{1,67}$ litros/100 km, a 10 km/h, y el máximo de 5 litros/100 km, a 30 km/h.