Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2020

Cuestión 3.

[2,5 p.] De entre todos los triángulos rectángulos cuya hipotenusa mide 4 metros, determine las dimensiones de aquel cuya área es máxima. ¿Cuál es el valor de dicha área máxima?

$\mathbf{\text{Cuesti}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{3.}}\mathbf{\text{[2,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulos}}\mathbf{\text{rect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulos}}\mathbf{\text{cuya}}\mathbf{\text{hipotenusa}}\mathbf{\text{mide}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{metros,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dimensiones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aquel}}\mathbf{\text{cuya}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima?}}$

Llamamos $x$ a uno de los catetos. El teorema de Pitágoras liga el otro con la hipotenusa, que es dato, y así el área queda en función de una sola variable.



$x^2+y^2=16\Rightarrow y=\sqrt{16-x^2}$

$A(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}x\sqrt{16-x^2},x\in (0,4)$

Derivamos aplicando la regla del producto y la de la cadena, y ponemos común denominador.

$A^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}[\sqrt{16-x^2}-{\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{16-x^2}}}]={\displaystyle \frac{16-2x^2}{2\sqrt{16-x^2}}}$

El denominador no se anula dentro del dominio, así que basta igualar a cero el numerador:

$16-2x^2=0\Rightarrow x^2=8\Rightarrow x=2\sqrt{2}$

Se descarta la raíz negativa por ser una longitud. Hacemos un estudio de signos para confirmar que es un máximo:

$\begin{array}{ccc}& (0,2\sqrt{2})& (2\sqrt{2},4)\\ 16-2x^2& +& -\\ A(x)& \nearrow & \searrow \end{array}$

La función crece antes de ese valor y decrece después, luego ahí alcanza su máximo absoluto, que además es el único punto crítico.

$y=\sqrt{16-8}=2\sqrt{2}\text{ m}$

$A_{\max }={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4{\text{m}}^2$

El triángulo de área máxima es el isósceles de catetos $2\sqrt{2}\approx \mathrm{2,83}$ metros, y su área vale 4 metros cuadrados.